21. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Оценка скорости сходимости.

Пусть — решение разностной задачи (213), а соответствующее решение исходной задачи (204). Выясним вопрос об асимптотическом (при ) порядке погрешностей в равномерной метрике.

Для погрешности и получаем разностную краевую задачу

где

— погрешность аппроксимации для схемы (213) на решении уравнения (204).

Преобразуем выражение для Для этого проинтегрируем уравнение (204) по х в пределах от

Вычитая это тождество из (234), получим

где

В частности, для схемы (213) с коэффициентами (57) имеем

Для выяснения точности схемы (213) надо оценить решение задачи (233).

Параметр является собственным значением. Поэтому неоднородное уравнение (233) разрешимо только в том случае, когда собственная функция у задачи (213) ортогональна к правой части уравнения (233), или, точнее, должно быть выполнено тождество

Пусть и — нормированные собственные функции:

Выше было доказано, что при Поэтому при достаточно малом можно утверждать, что Собственному значению соответствует только одна собственная функция, определяемая с точностью до произвольного множителя . Выберем множитель таким образом, чтобы функция был ортогональна разности

Отсюда получаем

В предыдущем пункте было показано, что при 0. Поэтому при Будем считать, что Далее,

так, что

Условие (240) используем для определения

Преобразуем теперь правую часть этого тождества, учитывая, что

Отсюда и из оценок (220) для следует

Лемма 7. Пусть кусочно-дифференцируемые функции, собственные значения задач (204) и (213), соответственно. Тогда справедлива оценка

где не зависит от

Перейдем к оценке Так как то у удовлетворяет уравнению а для и получаем задачу (233).

Сведем задачу (233) к дискретному аналогу интегрального уравнения

где -разностная функция Грина оператора с краевыми условиями

Собственная функция у задачи (213) удовлетворяет уравнению

Пусть собственное значение номера нормированная собственная функция,

Чтобы получить вместо (245) и (246) уравнения с симметричным ядром, сделаем замену

Тогда уравнения (245) и (246) примут вид

Условие ортогональности к функции выполняется в силу условия (240):

Условие (241) запишется в виде

Будем искать решение уравнения (249) в виде

при дополнительном условии (251).

Подставим это выражение в уравнение (249):

Разлагая по собственным функциям

получим

и

так что

Оценим выражение, стоящее под знаком суммы:

Пусть любое число, не зависящее от Выберем номер По такой, что Тогда

где не зависит от Так как для при то сумма по от 1 до при достаточно малом ограничена постоянной, не зависящей от Таким образом, справедлива оценка

Преобразуем выражение для

Отсюда, учитывая ограниченность (см. п. 9):

получаем оценку

Подставим эту оценку в (255), вернемся к функции и учтем (219):

Нас интересует разность и, которая выражается через

где постоянная, введенная ранее. Отсюда следует:

при достаточно малом так как при 0, а величина ограничена. Из формулы (242) видно, что

и следовательно,

Подставляя сюда оценку для , убеждаемся в том, что верна Теорема 8. Для погрешности схемы (213) при и при достаточно малом имеют место оценки

где не зависит от постоянные, не зависящие от

Перейдем теперь к оценке порядка точности разностной задачи Штурма — Лиувилля (213). Для этого нужно оценить величины

Если и - достаточно гладкие функции, точнее, то так же, как и в п. 10, можно показать, что ( для любой исходной схемы. Далее, имеем

где

Интегралы от 0 до 0,5 и от до 1 есть величины так как в силу краевых условий,

Учитывая, что

получаем следовательно, при

Таким образом, любая исходная схема (213) имеет второй порядок точности

в классе достаточно гладких коэффициентов Рассмотрим теперь класс разрывных коэффициентов

и покажем, что любая схема (213) имеет в этом классе первый порядок точности, а наилучшая схема (213), (57) имеет второй порядок точности при

Доказательство этого утверждения проведем, предполагая для простоты, что имеют только один разрыв первого рода в точке По аналогии с п. 11 находим

Из формулы (258) видно, что при так что

Отсюда в силу априорных оценок (256), (257) следует, что для любой схемы при

Для схемы (213) с коэффициентами (57)

Отсюда, в силу априорных оценок (256), (257), заключаем, что для наилучшей схемы

Все результаты, полученные для однородных схем, соответствующих краевой задаче, сохраняют силу и для разностной задачи на собственные значения (213).

Так, любая исходная схема на неравномерной сетке

коэффициенты которой определяются по формулам (83) и (85), имеет второй порядок точности в классе разрывных коэффициентов на специальных последовательностях неравномерных сеток (таких, что точки разрыва функций являются узлами сетки).

По аналогии с п. 14 можно написать точную схему и усеченные схемы любого порядка точности. Такие схемы были исследованы В. Приказчиковым [2].