Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
21. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Оценка скорости сходимости.Пусть Для погрешности
где
— погрешность аппроксимации для схемы (213) на решении уравнения (204). Преобразуем выражение для
Вычитая это тождество из (234), получим
где
В частности, для схемы (213) с коэффициентами (57) имеем
Для выяснения точности схемы (213) надо оценить решение задачи (233). Параметр
Пусть
Выше было доказано, что
Отсюда получаем
В предыдущем пункте было показано, что
так, что
Условие (240) используем для определения
Преобразуем теперь правую часть этого тождества, учитывая, что
Отсюда и из оценок (220) для Лемма 7. Пусть
где Перейдем к оценке Сведем задачу (233) к дискретному аналогу интегрального уравнения
где Собственная функция у задачи (213) удовлетворяет уравнению
Пусть Чтобы получить вместо (245) и (246) уравнения с симметричным ядром, сделаем замену
Тогда уравнения (245) и (246) примут вид
Условие ортогональности
Условие (241) запишется в виде
Будем искать решение
при дополнительном условии (251). Подставим это выражение в уравнение (249):
Разлагая
получим
и
так что
Оценим выражение, стоящее под знаком суммы:
Пусть
где
Преобразуем выражение для
Отсюда, учитывая ограниченность
получаем оценку
Подставим эту оценку в (255), вернемся к функции
Нас интересует разность
где
при достаточно малом
и следовательно,
Подставляя сюда оценку для
где Перейдем теперь к оценке порядка точности разностной задачи Штурма — Лиувилля (213). Для этого нужно оценить величины Если
где
Интегралы от 0 до 0,5 и от Учитывая, что
получаем Таким образом, любая исходная схема (213) имеет второй порядок точности
в классе достаточно гладких коэффициентов
и покажем, что любая схема (213) имеет в этом классе первый порядок точности, а наилучшая схема (213), (57) имеет второй порядок точности при Доказательство этого утверждения проведем, предполагая для простоты, что
Из формулы (258) видно, что
Отсюда в силу априорных оценок (256), (257) следует, что для любой схемы Для схемы (213) с коэффициентами (57)
Отсюда, в силу априорных оценок (256), (257), заключаем, что для наилучшей схемы
Все результаты, полученные для однородных схем, соответствующих краевой задаче, сохраняют силу и для разностной задачи на собственные значения (213). Так, любая исходная схема на неравномерной сетке
коэффициенты которой По аналогии с п. 14 можно написать точную схему и усеченные схемы любого порядка точности. Такие схемы были исследованы В.
|
1 |
Оглавление
|