§ 4. Трехслойные итерационные схемы

В этом параграфе мы рассмотрим трехслойные итерационные схемы для уравнения

где А — линейный положительно определенный оператор,

действующий в гильбертовом пространстве . В литературе такие схемы известны как двухшаговые, трехчленные или как итерационные схемы (методы) второго порядка (см., например, Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева [1]).

1. Постановка задачи.

Трехслойная итерационная схема для уравнения (1) связывает три итерации так что определяется через Любая трехслойная итерационная схема для (1) с постоянными операторами и параметрами может быть записана в виде (ср. гл. V, § 2):

Мы ограничимся изучением стандартных схем с регуляризатором

предполагая, что линейные операторы, заданные на

энергетически эквивалентны с постоянными Стандартная итерационная трехслойная схема имеет вид:

Заданы произвольные

Наряду с (5) будем рассматривать задачи

Пусть решение задачи (5), решение уравнения (1). Для погрешности получаем задачу

Перейдем к оценке решения задачи (6). Для этого нам понадобится обобщение составной нормы, введенной в гл. VI, § 2.

Пусть упорядоченная пара элементов пространства линейные операторы из Обозначим

где произвольное число. Отсюда видно, что и является нормой при Если же то полунорма.

В дальнейшем будем пользоваться обозначениями

Нашей целью является получение для решения задачи (6) априорной оценки вида

из которой при следует сходимость итераций по схеме (5). Оператор В и параметры к должны быть выбраны из условия минимума Сначала из этого условия выбираем тих при фиксированном В.

2. Выбор итерационных параметров.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда для решения задачи (6) при

имеет место априорная оценка

где определяется по формуле (7) при даются формулами (9).

Доказательство. Положим в где произвольное число. Для после очевидных преобразований получаем задачу

с операторами

Согласно гл. VI, § 2 схема (13) устойчива в полунорме где упорядоченная пара элементов, если выполнены условия

Приравнивая В нулю, находим

После подстановки этого выражения в формулы для получим

Требования будут выполнены, если

Сравнивая эти неравенства с (4), видим, что параметры можно найти из условий

Отсюда получим

После подстановки этих выражений в (15) определим Из предыдущего ясно, что минимум (максимум достигается лишь при условиях (16). Для мы получили задачу

где

Так как то имеет место оценка (14). Подставляя в получим

где норма определена тождеством (7). Так как то полунорма. Границы на практике определяются неточно. Пусть и - вычисленные значения так что Тогда выражаются через по (9), (10) и - норма

Имея априорную оценку для однородного уравнения (6), нетрудно оценить решение неоднородного уравнения (5а).

Мы рассматривали схему (5) с произвольными начальными данными Значение можно определять по произвольному пользуясь двухслойной итерационной схемой

Теорема 1 при этом сохраняет силу.

3. Явная схема.

Хорошо известна явная единичный оператор) трехслойная схема с произвольным нулевым приближением и первым приближением определяемым по двухслойной схеме (18) с оптимальным значением (см. Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева [1]).

Рассмотрим эту явную схему для уравнения

где С — самосопряженный оператор с границами у. и

Явная схема имеет вид

Выразим через

Подставляя сюда выражения (9) для получим

где оператор перехода двухслойной схемы с

т. е.

Схему (23) обычно получают так. Записывают сначала уравнение (19) в так называемом подготовленном виде, т. е. в виде уравнения

и выбирают так, чтобы была минимальна. Для этого, как было показано в § 1, надо положить

К этому уравнению и применяют явную схему (23).

В силу теоремы 1 для схемы (23) верна оценка (17) при

Рассмотрим теперь схему

Она отличается от (23) только произволом в выборе Скорость сходимости схем (23) и (26) в составной одна и та же:

4. Оценка скорости сходимости явной схемы.

Теорема 2, Пусть выполнены условия (20). Тогда при для задачи

где верна априорная оценка

Доказательство. Последовательно применяя уравнение (27), получим

где операторные полиномы степени соответственно. Подставляя (29) в уравнение (27), получим,

в силу произвольности что и удовлетворяют рекуррентным соотношениям

Из уравнений (27) и (29) при следует:

Чтобы формула (30) была верна и для определим из соотношения

Таким образом для и выполняются одни и те же соотношения (30) с начальными условиями

Отсюда следует, что

и формула (29) принимает вид

Положим

Подставляем это выражение в (30):

Разделим обе части на и учтем, что

В результате получим для рекуррентную формулу

с дополнительным условием

где

Отсюда видно, что есть полином П. Л. Чебышева второго рода (см. В. Л. Гончаров [1]),

где

Многочлены удовлетворяют рекуррентным соотношениям

где полином П. Л. Чебышева первого рода.

Для многочленов верна оценка

Перепишем теперь формулу (33):

Учитывая рекуррентные соотношения (35), получим

где полином Чебышева первого рода. Используем тождество

Нам понадобятся следующие неравенства (см. (12) из § 2 и (36)):

Подставляя (39) в (38) и учитывая (40), (41), будем иметь

Если то отсюда следует (28). Теорема 8 доказана. Если любой вектор, то из (37) и (36) получаем

Решение уравнения следуя гл. VI, § 3, ищется в виде где при Отсюда где Оценка

вместе с (43) выражает вычислительную устойчивость схемы (23). Полагая получаем для (23) при оценку

5. Априорные оценки для неявной схемы в энергетических пространствах ...

Рассмотрим теперь неявную схему (5) с и начальными условиями

Нетрудно убедиться в том, что неявная схема (5), (45) и явная схема (23) эквивалентны при

или при

В самом деле, применяя к (5), (45) оператор и обозначая получим схему (23) с Обратно, заменяя в и действуя затем оператором получаем неявную схему (5), (45).

Условия (20) равносильны условиям

Из (46) и (47) видно, что

Неявную схему можно трактовать, как явную схему для уравнения

эквивалентного уравнению при

или при

Теорема 3. Пусть выполнены условия (48). Тогда для неявной схемы (5), (45) при верна оценка

Замечание. Можно показать, что при тех же условиях (48) и дополнительном требовании перестановочности операторов выполняется оценка

6. Факторизованные схемы.

Оператор В выбирается из тех же соображений, что и в случае двухслойной схемы (см. §§ 2, 3). Одними и теми же операторами можно пользоваться как для двухслойных, так и для трехслойных схем. В частности, можно взять факторизованный оператор

с треугольными операторами Операторы эквивалентны с постоянными

эквивалентны с постоянными

так что условия (48) выполнены с постоянными

Постоянные были определены в § 2. Если выполнены условия для всех то постоянные Для факторизованного оператора (51) при равны

Если

При коэффициент имеет следующую асимптотику

а скорость сходимости итераций

Это значит, что число итераций пропорционально Напомним, что для двухслойной схемы с оператором (51) и постоянным скорость сходимости итераций равна

В случае разностной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в -мерной ступенчатой области и кубической сетки с шагом имеем таким образом, число итераций для трехслойной схемы с факторизованным оператором (51) есть величина Решение задачи Дирихле в -мерной ступенчатой области для уравнения

требует итераций с общим объемом работы

7. Двухступенчатый метод.

Трехслойную итерационную схему (5), (45) можно трактовать как метод поправок:

где поправка, невязка. Определяя как решение уравнения

каким-либо итерационным методом с нулевым начальным приближением мы получим двухступенчатый трехслойный

метод. Зададимся числом и сделаем итераций, где такое, что выполняется условие

Тогда, как было показано в § 3, п. 5, для поправки получаем уравнение

где разрешающий оператор схемы внутренних итераций, так что

Скорость сходимости двухступенчатого трехслойного метода следует из теоремы 3, где

В работе Гана [1] двухступенчатый трехслойный метод применялся для решения разностной задачи Дирихле для уравнения

с переменными коэффициентами. Внутренние итерации для решения уравнения (1) проводились по методу переменных направлений с оптимальным набором параметров. Для случая малых было отмечено существенное ускорение итераций по сравнению с двухступенчатой двухслойной схемой. В работе Вашпреса [3] внешние итерации проводились по методу Ланцоша, а внутренние — по методу переменных направлений.