Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Трехслойные итерационные схемыВ этом параграфе мы рассмотрим трехслойные итерационные схемы для уравнения
где А — линейный положительно определенный оператор, действующий в гильбертовом пространстве 1. Постановка задачи.Трехслойная итерационная схема для уравнения (1) связывает три итерации
Мы ограничимся изучением стандартных схем с регуляризатором
предполагая, что
Заданы произвольные Наряду с (5) будем рассматривать задачи
Пусть
Перейдем к оценке решения задачи (6). Для этого нам понадобится обобщение составной нормы, введенной в гл. VI, § 2. Пусть
где В дальнейшем будем пользоваться обозначениями
Нашей целью является получение для решения задачи (6) априорной оценки вида
из которой при 2. Выбор итерационных параметров.Теорема 1. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда для решения задачи (6) при
имеет место априорная оценка
где Доказательство. Положим в
с операторами
Согласно гл. VI, § 2 схема (13) устойчива в полунорме
Приравнивая В нулю, находим
После подстановки этого выражения в формулы для
Требования
Сравнивая эти неравенства с (4), видим, что параметры
Отсюда получим
После подстановки этих выражений в (15) определим
где Так как
где норма Имея априорную оценку для однородного уравнения (6), нетрудно оценить решение неоднородного уравнения (5а). Мы рассматривали схему (5) с произвольными начальными данными
Теорема 1 при этом сохраняет силу. 3. Явная схема.Хорошо известна явная Рассмотрим эту явную схему для уравнения
где С — самосопряженный оператор с границами у. и
Явная схема имеет вид
Выразим
Подставляя сюда выражения (9) для
где
т. е.
Схему (23) обычно получают так. Записывают сначала уравнение (19) в так называемом подготовленном виде, т. е. в виде уравнения
и выбирают
К этому уравнению и применяют явную схему (23). В силу теоремы 1 для схемы (23) верна оценка (17) при Рассмотрим теперь схему
Она отличается от (23) только произволом в выборе
4. Оценка скорости сходимости явной схемы.Теорема 2, Пусть выполнены условия (20). Тогда при
где
Доказательство. Последовательно применяя уравнение (27), получим
где в силу произвольности
Из уравнений (27) и (29) при
Чтобы формула (30) была верна и для
Таким образом для и выполняются одни и те же соотношения (30) с начальными условиями
Отсюда следует, что
и формула (29) принимает вид
Положим
Подставляем это выражение в (30):
Разделим обе части на
В результате получим для
с дополнительным условием
где
Отсюда видно, что
где
Многочлены
где Для многочленов
Перепишем теперь формулу (33):
Учитывая рекуррентные соотношения (35), получим
где
Нам понадобятся следующие неравенства (см. (12) из § 2 и (36)):
Подставляя (39) в (38) и учитывая (40), (41), будем иметь
Если
Решение уравнения
вместе с (43) выражает вычислительную устойчивость схемы (23). Полагая 5. Априорные оценки для неявной схемы в энергетических пространствах ...Рассмотрим теперь неявную схему (5) с
Нетрудно убедиться в том, что неявная схема (5), (45) и явная схема (23) эквивалентны при
или при
В самом деле, применяя к (5), (45) оператор и обозначая Условия (20) равносильны условиям
Из (46) и (47) видно, что
Неявную схему можно трактовать, как явную схему для уравнения
эквивалентного уравнению
или при Теорема 3. Пусть выполнены условия (48). Тогда для неявной схемы (5), (45) при
Замечание. Можно показать, что при тех же условиях (48) и дополнительном требовании перестановочности операторов
6. Факторизованные схемы.Оператор В выбирается из тех же соображений, что и в случае двухслойной схемы (см. §§ 2, 3). Одними и теми же операторами можно пользоваться как для двухслойных, так и для трехслойных схем. В частности, можно взять факторизованный оператор
с треугольными операторами
так что условия (48) выполнены с постоянными
Постоянные
Если
При
а скорость сходимости итераций
Это значит, что число итераций пропорционально
В случае разностной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в
требует 7. Двухступенчатый метод.Трехслойную итерационную схему (5), (45) можно трактовать как метод поправок:
где
каким-либо итерационным методом с нулевым начальным приближением метод. Зададимся числом
Тогда, как было показано в § 3, п. 5, для поправки
где
Скорость сходимости двухступенчатого трехслойного метода следует из теоремы 3, где
В работе Гана [1] двухступенчатый трехслойный метод применялся для решения разностной задачи Дирихле для уравнения
с переменными коэффициентами. Внутренние итерации для решения уравнения (1) проводились по методу переменных направлений с оптимальным набором параметров. Для случая малых
|
1 |
Оглавление
|