6. Оценка решения неоднородного уравнения.
Решение задачи (38) можно представить в виде суммы
где у — решение уравнения (38) при
принимающее на границе
заданные значения
а
решение неоднородного уравнения (38), обращающееся в нуль на границе
Для у, в силу принципа максимума, следует оценка
Оценка у представляет значительно большие трудности. Если известно частное решение У задачи (38), (39) с правой частью
мажорирующей
то, пользуясь теоремой 3, получим искомую оценку
Построение мажорантной функции
в явном виде удается лишь в некоторых специальных случаях. В п. 7 будет построена мажорантная функция
(мажоранта Гершгорина) для разностной задачи Дирихле. Однако для правильной оценки порядка точности разностной задачи Дирихле этого недостаточно, так как нужно отдельно оценить вклад погрешности аппроксимации в приграничных узлах в погрешность решения разностной задачи.
Теорема 4. Если
всюду на сол, то для решения уравнения (38) с
верна оценка
Доказательство. В силу теоремы сравнения
где
-решение задачи (38), (39) с правой частью
Пусть
принимает наибольшее значение в точке
Так как
то
т. е.
следовательно,