6. Оценка решения неоднородного уравнения.

Решение задачи (38) можно представить в виде суммы где у — решение уравнения (38) при принимающее на границе заданные значения

а решение неоднородного уравнения (38), обращающееся в нуль на границе

Для у, в силу принципа максимума, следует оценка

Оценка у представляет значительно большие трудности. Если известно частное решение У задачи (38), (39) с правой частью мажорирующей то, пользуясь теоремой 3, получим искомую оценку

Построение мажорантной функции в явном виде удается лишь в некоторых специальных случаях. В п. 7 будет построена мажорантная функция (мажоранта Гершгорина) для разностной задачи Дирихле. Однако для правильной оценки порядка точности разностной задачи Дирихле этого недостаточно, так как нужно отдельно оценить вклад погрешности аппроксимации в приграничных узлах в погрешность решения разностной задачи.

Теорема 4. Если всюду на сол, то для решения уравнения (38) с верна оценка

Доказательство. В силу теоремы сравнения где -решение задачи (38), (39) с правой частью Пусть принимает наибольшее значение в точке Так как то

т. е. следовательно,

Замечание. Если равномерно ограничен снизу константой то

В самом деле, и из (46) следует (47).

Рассмотрим теперь уравнение (38) при однородном граничном условии Напомним, что через мы обозначаем множество узлов для которых принадлежит а через — множество тех узлов для которых хотя бы один из узлов входящих в является граничным, приграничных узлах юнекоторые узлы оказываются граничными и поэтому соответствующие слагаемые обращаются в нуль. Это означает, что фактически для приграничных узлов суммирование ведется по множеству и что

Заметим, что если хеюй, то

Теорема 5. Пусть выполнены условия

Тогда для решения задачи

с однородным граничным условием имеет место оценка

где

Доказательство. Возьмем мажорантную функцию решение уравнения (52) с правой частью при при В силу теоремы на Так как связная область, то не может принимать наибольшего значения на где Пусть — узел, в котором имеет максимум. По условию поэтому, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 4, получаем (53).

Правую часть всегда можно представить в виде суммы где

Оценка решения задачи (52) при в случае на может быть получена методом межорантной функции