5. Принцип максимума.
Рассмотрим сейчас задачу (38), (39) независимо от разностных схем, аппроксимирующих уравнение Пуассона. Буем везде предполагать, что сетка сол связна. В общем случае это означает, что для любых заданных точек
Доказательство. Пусть
на
на
Предположим, что
хотя бы в одном внутреннем узле
Тогда
должна принимать наименьшее отрицательное значение внутри
что невозможно в силу принципа максимума, так как
на
Второе утверждение теоремы доказывается аналогично. Следствие. Однородное уравнение (40) имеет только тривиальное решение:
Нетрудно заметить, что
есть решение задачи (40). Пусть существует решение задачи
Если
хотя бы в одной точке, то, в силу теоремы 2, должны выполняться одновременно неравенства (42) и (43), что возможно только при
Из следствия и вытекает существование и единственность решения задачи (38), (39).
Теорема 3 (теорема сравнения). Пусть
— решение задачи (38), (39), а
—решение задачи, которая получится
замене в (38), (39) функций
соответственно на
Тогда, если выполнены условия
то имеет место неравенство
Доказательство. В силу теоремы 2 справедливо неравенство
на
Функции
удовлетворяют уравнению (38) с правыми частями
и граничными значениями и
Так как по условию
то, в силу теоремы 2, имеем
или
или
Отсюда следует, что
т.е.
на
Следствие. Для решения однородного уравнения (40) справедлива оценка
где
Неравенство (45) следует из теоремы 3, если положить