Два оператора
называются равными, если области их определения совпадают и для всех
выполнено условие
Оператор А называется линейным, если он
1) аддитивен, т. е. для всех
2) однороден, т. е. для всех
и любых чисел Я
Линейный оператор А называется ограниченным, если существует такая постоянная
что
для любых
(здесь
норма в
норма в
Наименьшая из постоянных
удовлетворяющих условию (1), называется нормой оператора А и обозначается или просто
Из определения нормы следует, что
Отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный оператор ограничен.
Всевозможные линейные ограниченные операторы, действующие из
образуют линейное нормированное пространство, так как норма
оператора
удовлетворяет всем аксиомам нормы: 1)
если
то
для всех
Будем обозначать через
множество линейных ограниченных операторов, область определения которых совпадает с X, а значения принадлежат
На множестве
можно ввести произведение
операторов
Очевидно, что
линейный ограниченный оператор:
Если
для всех
то
называются перестановочными или коммутативными; в этом случае пишут
В связи с решением уравнений вида
вводится понятие обратного оператора
Пусть
оператор из X на
т. е.
Если каждому
соответствует только один
для которого
то этим соответствием определяется оператор
называемый обратным для
и имеющий область определения
и область значений
Для любых
имеем, из определения обратного оператора, тождества
Нетрудно показать, что если А линеен, то и
он существует) также линеен.
Лемма 1. Для того, чтобы аддитивный оператор
имел обратный, необходимо и достаточно, что
только при
Теорема 1. Пусть А — линейный оператор из X на У. Для того, чтобы обратный оператор
существовал и был ограниченным (как оператор из
на X), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая постоянная
что для всех
При этом справедлива оценка