3. Операторы с переменными коэффициентами.
Перейдем к получению оценок для разностных операторов с переменными коэффициентами. Везде в 
и 4 предполагается, что область 
прямоугольник
Пусть
В гл. III было показано, что оператор
можно аппроксимировать с точностью 
выражением
где
Но из-за сложности вычисления интеграла такую аппроксимацию использовать не всегда целесообразно. В качестве 
обычно можно брать те выражения, которые получаются из (20), если заменить там интеграл той или иной квадратурной формулой. Часто используют выражения
Из соотношений (20) — (22) и условий (19) следует, что
Оператору (19) поставим в соответствие разностный оператор
Аппроксимации такого вида являются естественным обобщением на многомерный случай однородных разностных схем, введенных в гл. III для одномерных уравнений.
Лемма 3. Для всякой функции 
заданной на сетке 
и обращающейся в нуль на границе 
справедливы неравенства
где 
даются выражениями (15), (16); 
постоянные из условий (19) и 
Доказательство. Так как на границе сеточной области 
равна нулю, то из формулы Грина для оператора 
следует, что
Поэтому
Используя условие (19), отсюда находим
Оценивая теперь 
с помощью формул (13) и (13), получаем (25).
