4. Метод энергетических неравенств.

Одним из общих и весьма эффективных способов получения априорных оценок является метод энергетических неравенств. Мы приведем примеры использования этого метода для получения априорных оценок применительно к разностным задачам и покажем, как на основании полученных результатов можно определить, например, скорость сходимости разностной схемы.

Все рассмотрения в этом пункте будут проводиться для задачи

Пример 1. Пусть на отрезке [0, 1] введена равномерная сетка Рассмотрим следующую разностную аппроксимацию задачи (32):

Умножим уравнение (33) на и просуммируем полученное равенство по узлам сетки

Перепишем (34) в терминах скалярных произведений

Преобразуя первое слагаемое в (35) с помощью разностной формулы Грина находим

Скалярное произведение оценим при помощи неравенства Коши — Буняковского (12)

Воспользуемся леммой 3: Отсюда и из (36) находим:

Применяя затем лемму 1, получаем априорную оценку для решения задачи (33)

Это неравенство используем для оценки скорости сходимости схемы (33). Напишем сначала уравнение для погрешности схемы (33): и, где решение задачи (32), у — решение разностной задачи (33).

Подставляя в (33), получим для задачу

Здесь погрешность аппроксимации схемы (33), которая, как известно, при достаточной гладкости есть величина порядка Отметим, что для функции мы получили задачу того же типа, что и для функции Поэтому для справедлива оценка (37):

Но следовательно,

где положительная постоянная, не зависящая от шага А.

На основании данных выше определений (см. § 1) из (39) следует, что решение разностной задачи (33) равномерно сходится к решению дифференциальной задачи (32) со скоростью

Мы получили оценку скорости сходимости для очень простой задачи. Аналогичный результат для этой задачи можно было бы получить и с помощью ряда других методов, быть может даже более простых. Однако ценность приведенного здесь метода энергетических неравенств состоит в том, что он без существенных изменений переносится на многомерный случай, на случай переменных коэффициентов, на разностные схемы для параболических и гиперболических уравнений и т. д.

Покажем, например, что этот метод без всяких затруднений дает нужный результат для случая неравномерной сетки.

Пример 2. Пусть на отрезке [0, 1] задана неравномерная сетка Задачу (32) на такой сетке можно аппроксимировать следующим образом:

(относительно обозначений см. § 1, п. 3, пример 1).

Для задачи (40) можно получить априорную оценку того же типа, что и оценка (37) для задачи (33). Но в этом случае такая оценка дает не совсем верное представление о скорости сходимости схемы (40). Было показано (§ 1, п. 3), что погрешность аппроксимации

схемы (40) есть величина и

Оценка (41) указывает на понижение порядка скорости сходимости схемы (40) на неравномерной сетке по сравнению со схемой (33) на равномерной сетке. Однако выше говорилось, что если погрешность аппроксимации оценивать не в сеточной норме а в некоторой специально построенной норме то погрешность аппроксимации на неравномерной сетке будет иметь также порядок Именно, надо взять норму

Из сказанного ясно, что теперь при выводе априорной оценки для задачи (40) нужно оценивать правую часть в норме

Получим эту априорную оценку. Умножим уравнение (40) на и просуммируем по узлам сетки В терминах скалярных произведений полученное выражение можно записать в виде

Первое слагаемое в (42) преобразуем по разностной формуле Грина (8)

Введем в рассмотрение функцию определенную следующим образом:

Решая задачу (44), получим

Скалярное произведение в правой части равенства (43) преобразуется на основании формулы суммирования по частям (7):

В силу неравенства Коши — Буняковского имеем

Подставим эту оценку в (43) и сократим обе части неравенства

На основании леммы следовательно,

Тем самым желаемая оценка установлена. Рассмотрим теперь, как обычно, погрешность решения , где у — решение задачи (40), а — решение исходной дифференциальной задачи (32). Подставляя и в (40), получим для задачу

Применяя к задаче (49) оценку (48), заключаем

Но мы уже видели раньше (см. § 1, п. 3), что

и, следовательно, схема (40) на произвольной неравномерной сетке сходится со скоростью