Глава V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

Ранее были рассмотрены разностные схемы для простейших дифференциальных уравнений, введены для них основные понятия теории разностных схем и продемонстрированы некоторые приемы исследования устойчивости и сходимости схем. При этом обнаружилась возможность формулировать общие определения и методы на языке функционального анализа, отвлекаясь от конкретного вида разностных схем.

В этой главе проводится систематическая трактовка разностных уравнений как операторных уравнений в абстрактном пространстве и даются соответствующие определения аппроксимации, устойчивости и еходимости.

§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных пространствах

1. Разностные схемы как операторные уравнения.

После замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями на некоторой сетке мы получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую можно записать в матричной форме

где — квадратная матрица, искомый вектор, -известная правая часть, включающая и правые части краевых условий.

Каждой матрице можно поставить в соответствие некоторый линейный оператор А, отображающий пространство Тогда уравнение (1) примет вид

где у — искомый, известный векторы пространства Оператор А отображает в себя пространство сеточных функций,

заданных на и удовлетворяющих однородным граничным условиям.

Пример 1. Первая краевая задача. Пусть на отрезке [0, 1] введена равномерная сетка

Ищется решение первой краевой задачи

Вводя вектор перепишем уравнение (3) в виде (1), где

— матрица размера Вектор правой части учитывает правые части краевых условий (3):

так что отличается от только в приграничных узлах

Матрица определяет оператор который преобразует сеточную функцию т. е. вектор -мерного пространства в вектор того же пространства (в сеточную функцию Оператор совпадает с оператором на сеточных функциях, обращающихся в нуль на границе (при так что при

Пусть множество сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки со и, это множество линейно. Вводя на скалярное произведение и норму получим линейное нормированное пространство

Определенный выше оператор А линеен и отображает на (его область определения и область значений совпадают со всем пространством

Оператор А самосопряжен, т. е.

В самом деле, Пользуясь второй формулой Грина (гл. I, § 2) и учитывая, что совпадает с на множестве сеточных функций, обращающихся в нуль на границе сетки, получаем Оператор А положительно определен, т. е.

Это следует из леммы 3 (гл. I, § 2, п. 3). Норма оператора А равна

В самом деле, норма самосопряженного положительного оператора в конечномерном пространстве равна его наибольшему собственному значению, Так как в данном случае, согласно гл. I, § 2, п. 2 то имеет место формула (5). При этом справедливо неравенство

Рассмотрим оператор

Он самосопряжен в силу второй формулы Грина. Первая формула Грина дает

где Отсюда следует, что

т. е. А положительно определен. Его норма, как видно из формул (7) и (5), оценивается так:

Пример 2. Третья краевая задача. Пусть дана та же сетка что и в примере 1. Рассмотрим разностную краевую задачу третьего рода

Пусть множество функций, заданных на сетке

Определим оператор так:

Полагая перепишем задачу (9) в виде

где

Линейный оператор А отображает на Введем скалярное произведение

и норму

Оператор А самосопряжен, т. е. где

Пользуясь формулой Грина (гл. I, § 2) и подставляя выражения для получим

Так как

то

что и требовалось доказать.

Покажем, что если то оператор А положительно определен:

Для этого воспользуемся тем же приемом, что и при доказательстве леммы 1 из гл. I, § 2. Именно, представив функцию в виде

и воспользовавшись -неравенством, получим

Так как, согласно неравенству Коши — Буняковского,

то из предыдущего неравенства получаем

Аналогично доказывается неравенство

Из последних двух неравенств следует, что

Отсюда и из тождества

положив получаем (11).

Для нормы оператора А справедлива оценка

В самом деле, так как

где

Учитывая затем, что и

из формулы (12) получим искомую оценку (13).

Пример 3. Несамосопряженные операторы. Пусть

сетка на отрезке Рассмотрим разностные операторы

отображающие множество сеточных функций, заданных и равных нулю при на так что

Из этих формул видно, что можно рассматривать как операторы из на

Пусть скалярное произведение на Покажем, что операторы Л- и сопряжены друг другу:

В силу формулы суммирования по частям если при Отсюда и следует сопряженность и

Нетрудно заметить, что где т. е. Поэтому операторы положительно определенные:

Последнее неравенство справедливо в силу леммы 3 из гл. I, § 2, п. 3.

Обычно рассматриваются операторы из на вида

Они сопряжены друг другу

и

Из формулы

следует, что

Так как

т. е.

Несамосопряженные разностные операторы появляются, например, при аппроксимации эллиптических операторов второго порядка, содержащих первые производные. Так, оператор

аппроксимируем разностными операторами при или при где

Пусть оператор из на совпадающий с при Операторы действующие из на положительно определены при любом В самом деле,

Отсюда находим

Так как то, в силу неравенства треугольника для норм, получаем

Заметим, что если оператор аппроксимировать выражением при то вместо в (19) получим и оператор будет положительно определенным только при

Мы ограничились здесь простейшими примерами.

В гл. IV аналогичными методами изучались разностные операторы, аппроксимирующие эллиптические операторы (в частности, оператор Лапласа) в прямоугольных областях.

Если исходный дифференциальный оператор самосопряжен и положительно определен, то и разностный оператор надо строить так, чтобы он обладал указанными свойствами в сеточном пространстве. Этого можно добиться, используя, например, метод баланса (интегро-интерполяционный метод, см. гл. III) или вариационный метод для построения разностных схем (см., например, Ю. А. Гусман, А. А. Оганесян [1]).

Из предыдущих примеров видно, что разностные уравнения можно трактовать как операторные уравнения с операторами в линейном нормированном конечномерном пространстве. Для этих операторов характерно то, что они отображают все пространство в себя.

Перейдем к изложению теории разностных схем как операторных уравнений.

2. Устойчивость разностной схемы.

Пусть даны два линейных нормированных пространства и зависящих от параметра являющегося вектором некоторого нормированного пространства, норма вектора Рассмотрим линейный оператор с областью определения множеством значений Пусть -нормы в и

Рассмотрим уравнение

где заданный вектор.

Меняя параметр мы получим множество решений уравнения (21). Операторное уравнение (21), зависящее от параметра будем называть разностной схемой.

Будем говорить, что схема (21) корректна (задача (21) корректно поставлена) у если при всех достаточно малых

1) решение уравнения (21) существует и единственно при любых (схема (21) однозначно разрешима),

2) решение уравнения (21) непрерывно зависит от причем эта зависимость равномерна по h {схема (21) устойчива), иными словами, существует такая положительная постоянная не зависящая от что для решения уравнения (21) имеет место оценка (при любых

Разрешимость схемы (21) означает, что существует обратный оператор т. е.

Устойчивость схемы означает, что обратный оператор из в равномерно по ограничен:

Из (23) и (24) следует оценка (22):

В случае, когда гильбертово пространство и ограниченный оператор с областью определения для корректности схемы достаточно требовать, чтобы оператор был положительно определен:

где и постоянная, не зависящая от

В самом деле, из теоремы 4 гл. I, § 3 следует существование оператора определенного на всем пространстве и ограниченного:

Поэтому для решения уравнения (21) верна априорная оценка

Заметим, что самосопряженность оператора в случае вещественного пространства не предполагается.

Если комплексное гильбертово пространство, то самосопряженность является следствием его положительности.

Для доказательства устойчивости схемы (21) требуется получить априорную оценку вида (22). Вывод некоторых априорных оценок для операторного уравнения (21) будет дан в п. 4.

3. Сходимость и аппроксимация.

Пусть — линейные нормированные пространства с нормами Предположим, что

1) существуют линейные операторы из в и из в так что

2) выполнены условия согласования норм

Пусть вектор из Нас будет интересовать сходимость при к некоторому фиксированному элементу и из

Будем говорить, что

1) , где сходится к элементу если

2) сходится к пер со скоростью (или аппроксимирует и с точностью если при всех достаточно малых имеет место оценка

где постоянная, не зависящая от А.

Пусть решение задачи (21). Будем говорить, что

1) схема (21) сходится, если существует элемент и такой, что выполнено (28),

2) схема имеет точность если выполнено (29). Введем понятие погрешности аппроксимации на элементе Для этого напишем уравнение для разности Подставляя в (21), получим

Правую часть зависящую от выбора элемента и из назовем погрешностью аппроксимации на элементе для схемы (21). Очевидно, что есть невязка, возникающая при замене в уравнении элементом Будем говорить, что

1) схема (21) обладает аппроксимацией на элементе если

2) схема (21) имеет порядок аппроксимации на элементе если при всех достаточно малых

где Положительная постоянная, не зависящая от

Установим теперь связь между устойчивостью, аппроксимацией на элементе и сходимостью к этому элементу для схемы (21).

Если схема (21) корректна, то и задача (30) для 2д также корректна. Поэтому для ее решения верна оценка

Отсюда следует

Теорема 1. Если схема (21) корректна и обладает аппроксимацией на некотором элементе и то она сходится, точнее, решение задачи (21) при сходится к этому элементу причем порядок точности схемы (21) совпадает с порядком аппроксимации.

До сих пор мы говорили о сходимости схемы и погрешности аппроксимации на некотором фиксированном элементе и Однако, если и принадлежит области определения некоторого линейного оператора действующего из в то Поэтому можно считать, что и есть решение уравнения

и, следовательно, говорить об аппроксимации этого уравнения разностной схемой. Мы не вводили уравнение (34) лишь потому, что нигде в определениях не используются никакие предположения относительно оператора Всюду мы имели дело лишь с элементом и

Однако, если и есть решение некоторого уравнения (34), то можно говорить, как это обычно делается, об аппроксимации уравнения (34) схемой (21) на решении уравнения (34), о сходимости к решению уравнения (34) и т. д.

Поскольку имеется понятие аппроксимации элемента из множеством из то можно говорить об аппроксимации элементами оператора оператором А.

1) аппроксимирует с порядком если

2) оператор аппроксимирует оператор с порядком если для любого справедлива оценка

Очевидно, что если выполнены условия (35) и (36), то схема (21) имеет порядок аппроксимации на решении уравнения (34).

В самом деле, так как то

и

если выполнены условия (35) и (36).

Еще раз подчеркнем, что для оценки порядка точности схемы надо оценить ее порядок аппроксимации лишь на решении исходной задачи.

4. Некоторые априорные оценки.

Рассмотрим ряд простейших априорных оценок решения уравнения (21), вид которых зависит от информации об операторе схемы. Эти оценки типичны для разностных эллиптических задач.

Для упрощения записи будем в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений, опускать индекс Итак, пусть дано уравнение

где - линейный ограниченный оператор, заданный на вещественном гильбертовом пространстве известный, у — искомый элементы из

Будем предполагать, что задача (37) разрешима при любых правых частях (т. е., что существует оператор с областью определения

Все постоянные, встречающиеся ниже, предполагаются не зависящими от

Пусть -скалярное произведение, норма в Запись будет означать, что А — самосопряженный и положительный оператор. Введем обозначения

Лемма 1. Пусть оператор А имеет ограниченный обратный оператор с областью определения Тогда, если то верны оценки (для любых из :

Доказательство. Так как где единичный оператор, то Применяя затем обобщенное неравенство Коши — Буняковского, получим

Неравенство (39) следует из (38) и -неравенства.

Приведем ряд априорных оценок для решения уравнения (37).

1) Имеют место точные оценки

Действительно, из уравнения (37) имеем

так как Формула (41) очевидна.

2) Если то

Это следует из (40), так как дает и

3) Пусть в уравнении где самосопряженный положительный оператор, имеющий обратный оператор Тогда

Умножая (37) скалярно на у, получим энергетическое тождество

Так как

и, согласно лемме 1,

то из (44) получаем т. е.

4) Пусть в уравнении перестановочны. Тогда справедлива оценка

Достаточно показать, что и воспользоваться (41). Из условия получаем

Учитывая перестановочность операторов имеем отсюда

что и требовалось,

5) Пусть где

попарно перестановочны. Тогда для решения уравнения (37) справедлива оценка

Для простоты ограничимся случаем

Отсюда и из (45) следует (46).

Пример 1. Схема повышенного порядка точности в прямоугольнике

Пусть

— сетка в Схема для задачи Дирихле имеет вид

где граница сетки (см. гл. IV, § 1).

Пусть пространство сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки, пространство сеточных функций, заданных на и равных нулю на Введем на скалярное произведение и норму

где Определим аналогично примеру 1 п. 1 операторы

где . Операторы , самосопряженные, , при действует из Задача (47) сводится к уравнению

где Операторы самосопряженные, положительно определенные, перестановочные. Поэтому Учитывая, что

где получаем

Отсюда следует, что

Операторы перестановочны, Поэтому для уравнения (48) справедливы оценки (45) и (46):

где

Пользуясь теоремой вложения (гл. IV, § 2), получаем

Из этой оценки следует равномерная сходимость со скоростью схемы (47) к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Аналогично убеждаемся в справедливости оценки (50) для схемы в параллелепипеде. В этом случае

имеют место оценки где так что Оценка (50) получена В. Б. Андреевым [2].

Покажем как вычисляются негативные нормы вида для некоторых разностных операторов.

При вычислении таких норм будем использовать тождество

где у есть решение операторного уравнения (37). Рассмотрим первую краевую задачу

Введем пространство функций определенных на сетке и равных нулю при Как обычно,

Задачу (52) можно записать в виде операторного уравнения (37), где оператор определен тождествами

и правая часть есть вектор

Ранее было показано, что если то оператор (53) — самосопряженный и положительно определенный, так что оператор существует.

Лемма 2. Норму для оператора (53) можно представить в виде

где

В частности, для оператора (53) с имеем

Доказательство. Представим правую часть уравнения (52) в виде где задано соотношениями (55). Из уравнения

получим тогда, что

Для нахождения постоянной С поделим (57) на и просуммируем по от 1 до

т. е.

Далее, согласно (51), имеем

Учитывая уравнение (57), получаем отсюда

что и требовалось.

Заметим, что тождество (54) справедливо и в случае, когда функция определена следующим образом:

Следствие. для оператора (53) имеет место оценка

где

либо

Рассмотрим теперь третью краевую задачу (9). Введем также, как и в примере 2 п. 1, пространство состоящее из функций, заданных на сетке

со скалярным произведением

Задачу (9) запишем в виде (37), где

Лемма 3. Норму для оператора (59) можно представить в виде

где

Доказательство. Введем точки и положим Тогда левое граничное условие в (9) можно записать в виде

где

Точно так же правое граничное условие в (9) принимает вид

где

Таким образом, задача (9) эквивалентна первой краевой задаче

где

Заметим теперь, что если решение задачи (9), то

Поэтому применяя к (61) лемму 2, получаем (60).

Следствие. Если оператора (59) справедлива оценка

Пример 2. Пусть где Тогда и

т. е. Поэтому, в силу (43), для задачи

верна оценка

или, учитывая следствие из леммы 2,

Применяя теорему вложения (см. лемму 1, гл. I, § 2), имеем оценку

Эта оценка была получена в гл. I, § 2 методом энергетических неравенств.

Оценкой (43) можно пользоваться, если А — разностная аппроксимация оператора

область параллелепипед, граница сетка равномерна по каждому В этом случае, согласно гл. IV, § 1,

Рассмотрим теперь операторы специального вида (дивергентные или консервативные)

где линейные операторы: действует из в пространство со скалярным произведением и нормой действует из в .

Операторы сопряжены в следующем смысле

Пусть тогда

т. е. где Оператор А о самосопряжен,

Поэтому имеет место оценка (43), которая, если существуют принимает вид

В самом деле,

Оценка (64) упрощается в том случае, когда правая часть уравнения (37) имеет специальный вид, Умножая (37) скалярно на у, получим

Отсюда и из неравенств

следует оценка

Отметим, что в этом случае не требуется существования оператора

Приведем пример построения разложения (63). Пример 3. Третья краевая задача:

В данном случае оператор А имеет вид (см. пример 2 п. 1):

Чтобы представить оператор (66) в виде (63), удобно ввести дополнительную сетку

И рассматривать пространство функций определенных на со скалярным произведением

Как и ранее, — пространство функций, определенных на со скалярным произведением

Определим операторы следующим образом:

Нетрудно видеть, что где оператор определен формулами

Очевидно, что — самосопряженный в , оператор и

Покажем теперь, что операторы являются взаимно сопряженными в следующем смысле:

Действительно,

Аналогично строится разложение (63) и в случае краевых условий первого рода Единственное отличие

состоит в том, что определяется как пространство функций, заданных на и обращающихся в нуль при со скалярным произведением

Оператор вида очевидно, соответствует разностному оператору Для него также нетрудно получить оценки, аналогичные (64).

Мы ограничились простейшими примерами, показывающими, как надо использовать для конкретных задач априорные оценки, полученные для операторного уравнения

5. Коэффициентная устойчивость уравнений первого рода.

Пусть А — линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Рассмотрим операторное уравнение первого рода:

Задача (67) называется корректно поставленной, если существует единственное решение уравнения (67) для любых и это решение непрерывно зависит от правой части так что

где решение уравнения (67) с возмущенной правой частью

- некоторые нормы на множестве .

При постановке задачи (67) задается не только правая часть, но и оператор А. Если, например, А — дифференциальный или разностный оператор, то должны быть заданы коэффициенты уравнения.

Естественно требовать, чтобы решение задачи (67) непрерывно зависело не только от возмущения правой части, но и от возмущения оператора А задачи (например, от коэффициентов разностного оператора). Это требование, возникшее при изучении разностных схем, было названо в работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1] свойством коэффициентной устойчивости или ко-устойчивости.

Устойчивость решения уравнения (67) относительно возмущения правой части и возмущения оператора А будем называть сильной устойчивостью.

Вопрос ставится так: даны две задачи

где линейные операторы, область определения которых совпадает с произвольные векторы из . Требуется найти оценку для величины возмущения решения

через величины возмущений

Предположим, что операторы существуют. Будем считать, кроме того, что самосопряженные положительные операторы. Подставим в (71):

Применим к обеим частям равенства (72):

Вектор будем оценивать в норме пространства в негативной норме энергетического пространства 1. Преобразуем выражение

и оценим его по норме

В качестве меры возмущения оператора возьмем относительное изменение энергии оператора т. е. будем предполагать, что

Отсюда следуют неравенства

Покажем, что из (76) следует (77).

Рассмотрим разность и положим

где Положим

Так как то Тем самым доказано, что из неравенства следует неравенство для любых Неравенства (77) эквивалентны неравенствам

В самом деле,

Итак, из (74) следует

По определению нормы самосопряженного оператора

Подставляя эту оценку в (74), получаем из (72):

или

Пусть известен некоторый оператор имеющий более простую структуру, чем А, и удовлетворяющий условию

Тогда, если оператор осуществует, то

Таким образом доказана следующая теорема сравнения: Теорема 2. Пусть и — решение уравнения (67), — решение уравнения (70), самосопряженные положительные операторы, имеющие обратные. Тогда, если выполнены условие (75) и неравенство то справедливы оценки

Первое слагаемое в правой части (78) есть величина возмущения правой части второе слагаемое содержит коэффициент а — величину относительного возмущения оператора.

Пример. Пусть множество сеточных функций, заданных на и обращающихся в нуль при Рассмотрим разностные операторы

Вводя обычным образом скалярное произведение и используя разностные формулы Грина, получим неравенства

Согласно лемме 2, имеем

Таким образом, оценка (79) принимает вид

или, в силу неравенства

Выясним, что означает условие (75). Его можно записать в виде

откуда следует, что (75) будет выполнено, если потребовать