Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Погрешность аппроксимации на сетке.До сих пор мы рассматривали локальную разностную аппроксимацию (аппроксимацию в точке). Именно в этом смысле и шла речь о порядке аппроксимации в предыдущем пункте. Обычно требуется оценка порядка разностной аппроксимации на всей сетке. Пусть
где Рассмотрим некоторый оператор Назовем погрешностью аппроксимации оператора
где Если Будем говорить, что разностный оператор
или Замечания. 1. Если
Выбирая среди 2. Если сетка Рассмотрим примеры. Пример 1. Разностная аппроксимация на неравномерной сетке. Рассмотрим оператор
Оператору
определенный в узле
Вводя обозначения
оператор
В п. 2 была найдена локальная погрешность аппроксимации Отсюда видно, что оператор
В сеточной норме
Однако в норме
Докажем это утверждение. Перепишем
Принимая во внимание, что
где
Отсюда видно, что
и, следовательно,
Так как
то Отметим, что норма Разобранный пример показывает, что исследование локальной аппроксимации может оказаться недостаточным для суждения о порядке разностной аппроксимации и тем самым для суждения о качестве разностного оператора. Выбор подходящей нормы для оценки погрешности аппроксимации связан со структурой оператора и в каждом конкретном случае должен быть предметом изучения. Связь между оператором и нормой для оценки погрешности аппроксимации в общем виде установлена в гл. Аналогичная ситуация встречается и при изучении разностных аппроксимаций для оператора Если ищется решение Сеточная функция
Как функция аргумента
или одна из норм
Пусть Пусть
Будем говорить, что
где
Оператор
Если
то в каждом внутреннем узле сетки
Отсюда следует, что До сих пор мы рассматривали погрешность разностной аппроксимации на функциях и, принадлежащих некоторому классу Пусть теперь
В качестве разностной аппроксимации оператора, стоящего слева,
Подставим сюда
и для этого оператора имеем Таким образом, рассмотрение погрешности разностной аппроксимации на решении дифференциального уравнения может использоваться для повышения порядка аппроксимации.
|
1 |
Оглавление
|