§ 2. Матричная прогонка

Для решения систем разностных уравнений часто используют метод матричной прогошси, который поясняется ниже на частном примере.

Рассмотрим уравнение Шредингера, в случае когда потенциал обладает следующими свойствами: непрерывен при при и при Это соответствует краевой задаче

где I — мнимая единица, постоянная Планка, масса частицы. Без ограничения общности будем считать, что

Введем обозначения

и представим в виде

где - действительная и мнимая части функции Из (1), (2) для определения получаем задачу

Введем сетки

и аппроксимируем задачу (6), (7) системой разностных уравнений

Запишем систему (8) в векторной форме

где

Задача (9) является частным случаем следующей задачи: найти векторы удовлетворяющие уравнению

и краевым условиям

где - квадратные матрицы. Предположим существование матриц

Решение задачи (11), (12) будем искать в виде

где неопределенные пока матрицы и векторы. Из формулы (13) и уравнения (11) находятся (как и в случае обычной прогонки) рекуррентные

соотношения для вычисления матриц и векторов Из (13) и (12) находятся начальные значения позволяющие начать счет по рекуррентным формулам. Выпишем рекуррентные соотношения:

Вычисления по формулам (14), (15) можно вести до тех пор, пока матрицы остаются невырожденными, что и будем считать выполненным для Задача (14), (15) разрешима и процесс решения устойчив по отношению к случайной ошибке, т. е.

когда выполнены условия

при

Для решения системы (9), (10) формулы (14), (15), в которых

принимают вид

где вычисляются по следующим формулам:

Условие устойчивости (16) приводит к требованию Вычислив норму приходим к условию

которое очевидно выполнено.