Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙПри помощи метода конечных разностей задача Дирихле для уравнения Пуассона Для решения разностных эллиптических уравнений обычно применяются итерационные методы (или методы последовательных приближений). В § 1 этой главы мы рассматриваем современные экономичные итерационные схемы, применяемые для решения разностной задачи Дирихле в прямоугольнике. В §§ 2—4 дано изложение итерационных методов как части общей теории устойчивости разностных схем (см. гл. VI). Новым вопросом, возникающим здесь, является выбор итерационных параметров. В §§ 2, 3 рассматриваются одношаговые итерационные методы для уравнения § 1. Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле1. Итерационные схемы.Все итерационные схемы можно трактовать как методы установления для соответствующего нестационарного уравнения. Поясним это на примере уравнения Пуассона. Решение уравнения теплопроводности со стационарными (т. е. не зависящими от времени) граничными данными и правой частью
при
т. е. к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что решение однородного уравнения теплопроводности с однородным граничным условием
где В самом деле, пусть и
так что
Тогда решение задачи (3) имеет вид (см. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6], гл. VI):
В силу условия
так как
Требование
Поэтому, решая уравнение теплопроводности со стационарными граничными данными и правой частью и любыми начальными данными, мы при достаточно большом значении того, можно утверждать, что итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений являются методами установления. Остановимся сначала на общей характеристике понятия итерационной схемы. Пусть требуется решить разностное уравнение (линейную алгебраическую систему)
Будем рассматривать А как линейный оператор, заданный на некотором линейном нормированном пространстве Метод итераций позволяет, отправляясь от некоторого начального приближения
где Обычно к итерационным схемам предъявляется естественное требование: решение
Так как и не зависит от
Выражая
Чтобы определить отсюда последовательно
Итерационная схема (6) при любых разность
Говорят, что итерационный процесс (схема) (7) сходится, если
где Сравнивая (6) с двухслойной схемой, рассмотренной в
Поэтому вместо слов «одношаговая итерационная схема» можно говорить «двухслойная итерационная схема». Таким образом, любой итерационный процесс вида (6) сводится к решению нестационарной задачи. Различие между итерационными схемами и схемами для нестационарных задач заключается в следующем: 1) при любых 2) выбор параметров Параметр Обычно задается некоторая точность
Здесь Так как точное решение и неизвестно, то условие (9) неудобно для практической проверки. Его можно заменить одним из условий
где В общем случае в качестве меры сходимости итераций принимается отношение
Уравнению (4) можно поставить в соответствие большое число итерационных схем (6) с любыми Качество итерационной схемы характеризуется, прежде всего, числом Общий объем вычислений Запишем (6) в виде
Отсюда видно, что 1) 2) 3) Вообще Мы остановимся подробно на итерационных схемах для разностной задачи Дирихле. 2. Схема простой итерации (явная схема).Рассмотрим задачу Дирихле в прямоугольнике
Соответствующая разностная задача Дирихле имеет вид
где
— сетка с шагами Простейшей двухслойной итерационной схемой является явная схема (метод Якоби) с постоянным параметром:
Так как
Пусть
В гл. IV, § 2 было показано, что А является линейным самосопряженным оператором,
где
Здесь 6— наименьшее, Задача (16) эквивалентна операторному уравнению
Решая (19) относительно
где
где
так как
Величина Чем меньше
Из определения 5 (20) следует, что
Функция
Лемма 1. Если
Доказательство. Рассмотрим функции
Рис. 20. Из рисунка 20 видно, что в точке то достигается минимум функции
Подставляя сюда вместо
В случае квадратной сетки, т. е. при
Подсчитаем число итераций, достаточное для достижения точности
Оценим асимптотический порядок для числа итераций при
т. е. число итераций пропорционально числу узлов сетки и является величиной Погрешность в определении решения задачи Дирихле (13) есть сумма погрешности В настоящее время имеются методы, которые обеспечивают точность а) для прямоугольника с числом итераций б) для областей более сложной формы и уравнений с переменными коэффициентами
Сравнение с такими методами показывает, что метод простой итерации является слишком трудоемким (неэкономичным). В основе построения схем а) и б) лежит следующий принцип: итерационная схема, трактуемая как разностная схема для уравнения теплопроводности (1), должна быть экономичной. Тогда задача теории сводится к выбору итерационных параметров из условия минимума числа итераций (минимума нормы разрешающего оператора 3. Неявный метод переменных направлений (продольно-поперечная схема).Рассмотрим задачу (14). В качестве итерационной схемы возьмем продольно-поперечную схему с переменным шагом по времени для уравнения теплопроводности (1):
где
§ 1. Так как в данном случае граничное значение
и по столбцам уравнений вида
Таким образом, вычислительный алгоритм тот же, что и в случае уравнения теплопроводности. Для вычисления одной итерации требуется
Рассмотрим сеточное пространство 1) 2)
где
3) операторы и Последнее свойство выполняется только для прямоугольника. Перепишем задачу (33) в виде
Задан произвольный вектор 2° из Исключая, как было показано в гл.
В силу перестановочности
где
Применяя формулу (38), найдем
где
Оператор Из самосопряженности
где
где Пусть
причем
где
Норма оператора
Так же, как и в п. 2, мы приходим к следующей задаче минимакса: найти такой набор параметров
Точное решение этой задачи найдено Жорданом (см. Вашпресс [3]). Мы изложим основные этапы его рассуждений (без обоснования заключительного этапа). Кроме того, мы дадим приближенное решение задачи минимакса; это решение может быть использовано и в других случаях (например, для схем 4. Выбор итерационных параметров.Две системы параметров Если же
где Вместо
где
Прежде, чем решать эти уравнения, преобразуем функцию
где
Вернемся к системе уравнений (49). Выразим
Подставив (52) в (49), получим два уравнения:
Введем вместо
Перемножая эти равенства, исключим
Зная
Нетрудно убедиться в том, что
Тогда вместо (47) получаем задачу о нахождении минимакса
1) Выбор параметров «по Жордану». Решение задачи (57) найдено Жорданом и приводится в статье Вашпресса [3]. Оно довольно громоздко и мы не будем его излагать. Приведем здесь лишь формулы для вычисления оптимальных параметров
или
Вводя обозначения
получим для вычисления
Теперь остается определить, согласно (51), искомые параметры
При этих значениях параметров для задачи (31), (32) справедлива оценка
После этого можно приступать к решению задачи (31), (32). Рассмотрим частный случай:
При этом 2) Циклический набор параметров. Другой, более грубый, способ выбора параметров
Набор параметров Параметры
где Лемма 2. Пусть даны функция
и два числа
Найдем Из леммы 2 следует, что, если условие
выполнено хотя бы для одного
Последовательность Построим последовательность интервалов
(числа
и, следовательно,
Потребуем, чтобы выполнялись условия
где
Требования
Отсюда следует, что
Из (65) определим последовательность
Таким образом, равно
где
Проведем теперь циклов с набором параметров
В силу (69) имеем
Условие
будет выполнено при Отсюда находим
Таким образом для решения задачи (31), (32) после
где
Минимум Сравнение (74) с (58) показывает, что циклический набор параметров не является оптимальным. Однако асимптотические порядки формул (74) и (58) совпадают (с точностью до множителя):
|
1 |
Оглавление
|