10. Продольно-поперечная схема как аддитивная схема.

Метод суммарной аппроксимации позволяет формулировать краевые условия для схемы переменных направлений в случае ступенчатой области, эти условия обеспечивают точность Итак, пусть составлена из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Если отрезки, из которых составлена граница области параллельные оси соизмеримы, то можно ввести равномерную по сетку с шагами Будем считать, что сетка равномерна по Рассмотрим задачу (32) из § 1. Схему переменных направлений, следуя § 1, возьмем в виде

где выражение, определяемое по формуле

Таким образом, и в этом случае вводится поправка в краевое условие при Здесь

Пусть решение исходной задачи (32) из § 1 решение задачи (61). Полагая получим для задачу

где погрешности аппроксимации для промежуточных схем:

Так как

Отсюда видно, что и

т. е. схема обладает суммарной аппроксимацией второго порядка по

Положим где при Тогда для получим задачу (62) с однородными граничными и начальными значениями и правыми частями

Так как определена и при если существует непрерывная в производная Для воспользуемся полученной в § 1 априорной оценкой (41) и учтем, что

Отсюда и следует сходимость со скоростью в частности, в сеточной норме т. е. (так как Если то при этом достаточно, чтобы существовали непрерывные в производные