8. Равномерная сходимость и порядок точности разностной задачи Дирихле.
Применим теорему 6 для оценки решения задачи (28). Следуя п. 7, представим погрешность аппроксимации
схемы (24) — (26) в виде
где
в регулярных узлах (по
) в нерегулярных узлах (по
).
Из оценок п. 3 следует, что для и
в нерегулярных узлах
где
Из (74) находим
Для решения задачи (28), в силу теоремы 6, имеем оценку
Перейдем к оценке
в
имеем
либо
где А одно из чисел
или
Учитывая, что
заключаем
Подставляя оценки (76) и (78) в (77), убеждаемся в том, что верна
Теорема 7. Если решение задачи
то разностная схема (24) — (26) равномерно сходится со скоростью
(имеет второй порядок точности). При этом верна оценка
где у — решение задачи
Сделаем в заключение следующее
Замечание. Рассмотренный выше способ аппроксимации задачи Дирихле (схема
является довольно распространенным. Однако построенный таким образом разностный оператор в некоторых случаях теряет ряд важных свойств, присущих исходному дифференциальному оператору: самосопряжен ность и отрицательную определенность.
Представляет интерес построить такую аппроксимацию задачи Дирихле для уравнения Пуассона, для которой
соответствующий разностный оператор был бы самосопряженным и отрицательно определенным.
Оказывается, что для этого достаточно изменить запись разностного уравнения в нерегулярных узлах. Именно, оператор
будем определять теперь так:
где
Можно показать, что при этом оператор
является самосопряженным и отрицательно определенным (на множестве функций, обращающихся в нуль на
в смысле скалярного произведения
Так же как и в теореме 7, доказывается, что соответствующая разностная схема имеет второй порядок точности.