8. Разностная функция Грина.

Основной вопрос теории — оценка порядка точности однородной схемы (25), (26) в классах непрерывных и разрывных функций Пусть у — решение задачи (25), (26), и — решение задачи (1). Для погрешности и получаем задачу

где

— погрешность аппроксимации уравнения (1) разностной схемой (25), (26) на решении задачи (1).

Для оценки порядка точности схемы (25), (26) нам понадобится априорная оценка решения задачи (29).

Решение задачи (1) с однородными краевыми условиями как известно, может быть представлено в интегральной форме

Функция источника или функция Грина определяется условиями

и обладает свойствами

Чтобы получить явное выражение для решения разностной задачи (29) и использовать его затем для вывода априорных оценок, введем разностную финкцию Грина

Пусть, как обычно,

Будем искать решение задачи (29) в виде

Потребуем, чтобы это выражение удовлетворяло уравнению Отсюда видно, что уравнение удовлетворяется только при где символ Кронекера:

Таким образом, формула (31) дает решение задачи (29), если как функция х при фиксированном удовлетворяет условиям

Покажем, что разностная функция Грина существует и найдем для нее явное представление.

Пусть и два линейно независимых решения однородного уравнения Для определенности будем считать, что суть решения задач Коши:

Нам понадобятся следующие свойства

1) -монотонно возрастающая, -монотонно убывающая положительные функции:

Докажем эти свойства.

1) Из уравнения и условия следует

Если то Аналогично убеждаемся, что

2) Рассмотрим вторую формулу Грина:

Отсюда, в силу условий (33), сразу следует

3) Применим вторую формулу Грина в области

Так как произвольный узел сетки то

Будем искать разностную функцию Грина в виде

Краевые условия при выполнены. При функция (34) удовлетворяет уравнению Чтобы найти используем условие однозначности при и уравнение при Полагая в найдем

Подставим выражение (34) в уравнение (29) при

Из уравнения при выразим

из (35) определим и подставим эти выражения в (36):

Отсюда, из свойств 3) и формулы (35) находим

В результате для получаем формулу

Отсюда видно, что неотрицательна: при симметрична: для любых и удовлетворяет уравнению

по аргументу при фиксированном .