Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами1. Однородные разностные схемы.В этом параграфе рассматриваются однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности: ищется непрерывное в прямоугольнике
удовлетворяющее начальному условию
и краевым условиям
Коэффициент
где
где Предполагается, что задача (1) — (3) имеет единственное решение, обладающее нужными по ходу изложения производными. Построим в
равномерная сетка с шагом
сетка с шагом х на отрезке
сетка в
Для получения однородных консервативных разностных схем воспользуемся интегро-интерполяционным методом. Рассмотрим уравнение (1) при
где
Аппроксимируем входящие в (6) слагаемые
где Подставим эти выражения в (6), заменим и на у, знак аппроксимации знаком равенства. В результате получим следующую однородную консервативную разностную схему (обозначим
Начальное условие и краевые условия первого рода выполняются на сетке точно. Коэффициент а и правая часть
по следующим формулам
Шаблонные функционалы заданы на классах кусочно-непрерывных функций
Семейство однородных схем (7) определяется заданием Если Интегро-интерполяционный метод позволяет получить и ряд других схем. Так, например, пользуясь уравнением баланса в прямоугольнике
легко получить схему
Для вычисления
Мы ограничимся здесь изучением только схем (7). При практическом применении схем (7) для вычисления
Приведем схему (7) к «счетному виду», т. е. к виду, удобному для вычислений. Для этого разрешим уравнение (7) относительно
Запишем это уравнение в развернутом виде
Для определения
Для вычисления правой части уравнения (11) можно пользоваться рекуррентной формулой
Объем вычислений при этом уменьшается. Решение задачи (11), (12) может быть найдено методом прогонки при
выполнены. При
при
При
2. Погрешность аппроксимации.Вычислим погрешность аппроксимации для схемы (7). Пусть
где
— погрешность аппроксимации для схемы в классе решений При оценке порядка аппроксимации будем предполагать, что
где
Отсюда следуют формулы (см. § 1, п. 10):
Преобразуем
Учитывая, что по определению исходного семейства схем (см. § 1, п. 7)
получаем
если существуют непрерывные в Если стационарная схема
то Для оценки порядка погрешности аппроксимации в форме (16) будем пользоваться нормами
3. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов.Пусть
Для погрешности аппроксимации и в этом случае верны формулы кроме
Для наилучшей схемы, как это следует из § 1, п. 11,
Для произвольной схемы имеем
Введем новую функцию
Отсюда находим
В результате получаем для
где Представление погрешности аппроксимации в таком виде будет использовано в п. 5 при исследовании сходимости схемы (7) в классе разрывных коэффициентов. Если при фиксированном
при
где
Отсюда находим
Выбор того или иного представления 4. Устойчивость и априорные оценки.Исследуем устойчивость схемы (7) по начальным данным и по правой части. Рассмотрим задачу
В гл. VI, § 1 проведено детальное исследование вопроса об устойчивости операторно-разностных двухслойных схем с весами
где Результаты общей теории устойчивости схемы (25) применим к нашей конкретной схеме (24). В качестве пространства на границе (при
Оператор
Вычислим норму
Подставляя сюда
находим В гл. VI, § 1 показано, что условие
является достаточным для устойчивости схемы (25). В нашем случае условие (26) имеет вид
так как При этом условии для задачи (25) имеет место априорная оценка (см. гл. VI, § 1, теорема 10)
где Если, кроме того,
где
где Входящие в (27) и (28) нормы Рассмотрим оператор
Так как
Полагая
Оценим теперь выражение
Априорная оценка (28) принимает вид
если выполнено условие Обратимся теперь к выражению
Функция
по формуле для Из явных выражений для
где Подставляя
если выполнено условие (26). Чтобы получить оценку решения задачи (25) в энергетической норме
Это неравенство для нашего оператора
В силу теорем 12, 13 из гл. VI, § 1 для схемы (25) имеют место следующие априорные оценки: 1) Если выполнены условия (32) и
2) Если выполнены условия (32) и
Здесь
В нашем случае
Учитывая
получим для решения задачи (24) в случае
при Отсюда видно, что схема (24) при а 0,5 абсолютно устойчива. Явная схема
т. е. условно устойчива. Величина максимального допустимого шага то зависит от максимума Из оценок (33) и (34) устойчивость в С по начальным данным не следует. Соответствующие оценки в норме С можно получить при помощи принципа максимума. Для этого запишем уравнение (24) в виде
или
В гл. I, § 2, п. 5 для уравнения (36) с правой частью
В нашем случае
Пусть выполнены условия
Тогда
Суммируя по
Эта же оценка справедлива и для явной схемы Таким образом, доказана Теорема 1. Если выполнено условие
то для задачи (24) справедлив принцип максимума и имеет место априорная оценка (39) в равномерной метрике Из (40) видно, что при Рассмотренные в этом пункте априорные оценки мы применим для исследования скорости сходимости разностной схемы (7) (9). 5. Сходимость и точность.Чтобы выяснить скорость сходимости или порядок точности схемы (7) — (9) как в классе непрерывных так и разрывных коэффициентов, нужно оценить решение задачи (13), учитывая при этом структуру погрешности аппроксимации (16) — (23). Рассмотрим сначала случай непрерывных и достаточно гладких коэффициентов Пусть схема имеет второй порядок локальной аппроксимации, т. е. Оценка (34) принимает вид
Отсюда следует равномерная сходимость схемы (7) — (9) со скоростью
Займемся теперь исследованием вопроса о сходимости схем (7) в классе разрывных коэффициентов. Представим суммы
Наиболее слабые требования к правой части предъявляет априорная оценка (29), которая для задач (42) и (41) при
где При этом
Для
Априорная оценка (44) дает
Из априорной оценки (43) следует
Объединяя оценки для
Для наилучшей схемы имеем
так что
Отсюда и из (43), (44) заключаем, что наилучшая схема имеет точность Будем предполагать, что
Из предыдущего следует, что верна Теорема 2. Пусть
имеет в сеточной норме Чтобы получить оценку точности в норме сеточного пространства С (равномерную оценку), следует воспользоваться априорными оценками (33) для
Так как
Для наилучшей схемы получаем оценку
Потеря половины порядка по Пользуясь принципом максимума, можно доказать равномерную сходимость со скоростью Мы рассмотрим схему с опережением
Решение этой задачи оцениваем методом выделения «стационарных неоднородностей», полагая
где
Для
Для сеточной функции
Отсюда и из предыдущих неравенств следует:
Так как
для любой схемы (7) и
для наилучшей схемы. Тем самым доказано, что в классе разрывных функций Для дифференциального уравнения
схема с весами имеет вид
где коэффициенты
Если
и т.д. Эта схема сходится при в сеточной норме 6. Однородные схемы на неравномерных сетках.На практике часто применяются неравномерные по Пусть
где а вычисляется по формуле (см. § 1, п. 13)
правая часть, например, по формулам (общую формулу для
Приведем простейшие формулы для
Рассмотрим схему с весами
Приведем схему к счетному виду. Известно значение
Эта задача решается методом прогонки. Пусть
где
погрешность аппроксимации задачи (1) — (3) схемой (55). Воспользуемся уравнением баланса (6) на отрезке
Разделим обе части тождества (6) на
Предположим, что в точке
Согласно § 1, п. 13 имеем
где
Определяя
где а — постоянная, зависящая от выбора шаблонного функционала
Тогда для
если вне разрыва Перейдем к выяснению точности схемы. Для этого нам понадобятся априорные оценки (27), (28), (33), (34) решения задачи (56). Рассмотрим пространство
и норму
Рассмотрим оператор
следует, что А — самосопряженный оператор. Первая фомула Грина и замечание к лемме 1 из гл. I, § 2, п. 3 дают
т.е. А — положительно определенный оператор. Так как
В самом деле Для разностной задачи (56) с правой частью (63) справедлива оценка
при условии
Положим Предположим, что коэффициенты
Тогда схема (55) на любой последовательности неравномерных сеток равномерно сходится со скоростью Рассмотрим вопрос о сходимости схемы (55) в классе разрывных коэффициентов. В дальнейшем будем предполагать, что I. Функции II. Сетка III. В областях между линиями разрыва функции
Теорема 3. Пусть выполнены условия I—III. Тогда при Для доказательства теоремы достаточно использовать (71) и (75). Замечание 1. Сходимость со скоростью
Это следует из априорной оценки (29):
Замечание 2. Для схемы с опережением 7. Монотонные схемы для параболических уравнений общего вида.Рассмотрим для параболического уравнения общего вида следующую задачу в
В § 1, п. 15 были получены монотонные схемы второго порядка точности для стационарного уравнения Чтобы получить для (78) монотонную схему, для которой справедлив принцип максимума при любых
Оператор
где
Здесь Для уравнения (79) пишется чисто неявная (четырехточечная) однородная схема
Коэффициенты Так же, как и в предыдущем пункте, можно показать, что для задачи (80) с
где 8. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи теплопроводности.При изучении процессов теплопроводности или диффузии в телах, имеющих форму цилиндра, естественно пользоваться цилиндрической системой координат
В случае сферической симметрии уравнение теплопроводности имеет вид
В § 1, п. 18 были изучены однородные схемы для стационарных уравнений в сферической и цилиндрической системах координат. Рассмотрим уравнение более общего, чем (81) и
При
а при
Разностную схему с весами для уравнения (82) можно, по аналогии с п. 1, получить интегро-интерполяционным методом. Оператор
при этом аппроксимируется разностным оператором
или
Задаче (82) — (82") ставим в соответствие схему с весами
Формула для правой части
Погрешность аппроксимации условия (82) условием (84)
В самом деле, по аналогии с § 1, п. 18, убеждаемся, что
(точка обозначает дифференцирование по Учитывая затем, что
получаем
Для решения системы разностных уравнений (83), (84) можно применить обычный метод прогонки. Напишем условия для погрешности
где Пользуясь уравнением баланса на промежутке
Правую часть
т. е.
где
Рассмотрим схему с опережением Представим
Этими условиями Для
В § 1, n. 18 для
Напишем уравнение для
Нам понадобится оценка
Из уравнения для
так что
Для оценки
Предположим, что
Тогда будем иметь
Для оценки
В силу теоремы 3 из гл. I, § 2 имеем
где Подставляя сюда оценки для
Тем самым доказано, что схема (83) — (85) при
9. Третья краевая задача.Рассмотрим краевую задачу
В § 1, п. 16 было получено разностное условие третьего рода для стационарного уравнения
Здесь
Приведенная выше схема имеет точность Запишем эту разностную схему в виде, пригодном для применения метода прогонки:
где
Прогонка устойчива, если 10. Периодическая задача.Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном тонком круговом кольце
Для однозначного определения
которое можно заменить условиями сопряжения в точке
Заменой переменных
преобразуем отрезок
Введем сетку
и напишем простейшую неявную схему
Первое из условий сопряжения
Второе условие аппроксимируется, по аналогии с § 1, п. 19, уравнением
Таким образом, разностную схему пишем во всех узлах Аналогично ставится разностная задача и для уравнения с переменными периодическими коэффициентами
и периодическими краевыми условиями (условиями сопряжения)
Все функции
где
Написанные условия однозначно определяют решение. Эта схема имеет аппроксимацию
решается методом циклической прогонки (см. Дополнение, § 3). Для исследования вопроса об устойчивости и точности следует рассмотреть пространство В Пусть Так как
Так как А липшиц-непрерывен по
если
где При этом же условии
При 11. Квазилинейные уравнения.При изучении высокотемпературных процессов необходимо учитывать зависимость коэффициентов теплоемкости и теплопроводности от температуры. Рассмотрим уравнение
В неоднородной среде
Для решения квазилинейных уравнений метод конечных разностей практически является единственным методом, позволяющим эффективно найти решение. Для квазилинейных уравнений использование явных схем нецелесообразно, если
требует мелкого шага по времени, определяемого часто значениями функций Рассмотрим сначала уравнение (89) с
Чтобы отыскать решение этого разностного уравнения, можно использовать итерационный метод
где Рассмотрим теперь два типа чисто неявных схем (схем с опережением,
где Схема а):
Схема б):
где
Сравним эти схемы. Погрешность аппроксимации этих схем
Относительно у разностная схема оказывается линейной. В качестве начальной итерации берется функция у предыдущего шага по времени:
Недостаток схемы (92), (93) в том, что счет интераций требует удвоения числа занимаемых в машине ячеек памяти по сравнению со схемой а), так как для вычисления у нужно «помнить» у и у. Для нахождения значения функции Поскольку обе схемы абсолютно устойчивы и имеют одинаковый порядок аппроксимации, то казалось бы, что и в этом отношении схема а) имеет преимущество перед итерационной схемой б). Однако это не так. Практика показала, что для получения одинаковой точности счета по схемам а) и б), схема б) позволяет использовать настолько более крупный шаг по времени, что несмотря на необходимость итераций, это приводит к уменьшению объема вычислительной работы. Можно использовать схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству и времени:
Однако такие схемы имеют недостаток, они — немонотонны, что приводит часто к появлению «ряби». Для получения хороших. результатов в этом случае нужно выбирать достаточно мелкий шаг по времени.
Рис. 7. В случае уравнений (88) со слабой квазнлинейностью, при
Мы не будем останавливаться здесь на теоретическом исследовании указанных выше схем (91) — (94) (см., например, А. А. Самарский [3], Дуглас и Джонс [1]). Пример 1. Температурные волны. Встречаются задачи, в которых температуры Пример 2. Задача о фазовом переходе (задача Стефана). Пусть имеется две фазы с коэффициентами теплопроводности и теплоемкости
На границе раздела фаз температура постоянна и равна температуре фазового перехода,
если в первой фазе Вводя
Для решения задачи Стефана применяется метод сглаживания:
Сглаживая на интервале
для решения которого можно использовать описанные выше схемы. Разностные методы решения задачи Стефана рассматривались, например, в работах А. А. Самарского, Б. Д. Моисеенко [1] и Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой, А. Б. Успенского [1].
|
1 |
Оглавление
|