15. Монотонные схемы для уравнения общего вида.
Рассмотрим краевую задачу
Напишем для нее разностную схему второго порядка аппроксимации, для которой справедлив принцип максимума при любом
шаге 
Это значит (см. гл. I, § 2), что схема может быть записана в виде
где
Такие схемы называют монотонными. Это название объясняется тем, что решение задачи (117) при 
является монотонной функцией на всем отрезке 
т.е. либо 
либо 
для всех 
Оператор 
заменим, как обычно, однородной трехточечной схемой
второго порядка аппроксимации.
Естественная замена первой производной 
центральной разностной производной 
дает схему второго порядка аппроксимации. Эта схема монотонна лишь при достаточно малых шагах сетки. Формулы прогонки применимы при достаточно малом 
когда 
Если воспользоваться односторонними разностными производными (правой их при 
и левой их при 
для аппроксимации и, то получим монотонную схему, для которой справедлив принцип максимума при любых 
Однако она имеет первый порядок аппроксимации.
Построим монотонную схему второго порядка точности, содержащую односторонние производные, учитывающие знак 
Покажем, что для этого достаточно написать монотонную схему с односторонними первыми разностными производными для уравнения с возмущенными коэффициентами
где 
«разностное число Рейнольдса». Представим 
в виде суммы
и аппроксимируем 
выражением
где 
шаблонный функционал, используемый для вычисления коэффициентов 
В результате мы получаем однородную схему
Покажем, что схема (119) монотонна. Для этого запишем ее в виде
где
Отсюда видно, что 
так как 
Уравнения (120) разрешимы методом прогонки при любых 
Погрешность аппроксимации схемы (119)
представим в виде суммы 
Для 
имеем оценку
Учитывая, что
получаем
так как 
Таким образом, монотонная схема (119) имеет второй порядок аппроксимации
Если 
то для решения задачи (119) при 
принцип максимума дает оценку
из которой, в силу (121), следует равномерная сходимость схемы (119) со скоростью 
Монотонной схемой (119) целесообразно пользоваться в тех случаях, когда 
является быстроменяющейся функцией х и в отдельных точках возможно нарушение условия 
(что не сказывается существенно на точности схемы).
Не представляет труда написать монотонную схему на неравномерных сетках. Методом, изложенным в предыдущем пункте, можно построить точную схему и схемы любого порядка точности. Они будут монотонными схемами вида (119).
