5. Схема повышенного порядка точности для эллиптического уравнения со смешанными производными.
В прямоугольнике и
рассмотрим задачу Дирихле для
уравнения
где
— граница области
Если
то выполнено, условие эллиптичности оператора
где
Будем предполагать, что
Нетрудно заметить, что уравнение общего вида
где
постоянные,
преобразуется к виду (36) путем замены переменных
так что
Предположим, что в прямоугольнике
можно ввести квадратную сетку
с шагом
Построим разностную схему четвертого порядка точности для задачи (36), (37).
Зададим разностные операторы
Нетрудно непосредственно убедиться в том, что имеют место формулы
Рассмотрим разностный оператор
где
Найдем погрешность аппроксимации оператором
оператора
на решении уравнения
Пользуясь формулами (40), будем иметь
Из уравнения (36) определим
и преобразуем выражение в скобках
так как
Отсюда и из (42) следует, что схема
где граница сетки
и
имеет четвертый порядок аппроксимации на решении
задачи (36), (37). При этом вид оператора
зависит, согласно (41), от знака коэффициента
Для погрешности
и получаем условия
Введем скалярное произведение и норму в пространстве сеточных функций, заданных на
и обращающихся в нуль в граничных узлах
Пользуясь формулой суммирования по частям (см. гл. I, § 2, п. 1), найдем
Поэтому справедливы оценки
где
Введем операторы
и найдем постоянные эквивалентности
Учитывая оценки для
имеем
Воспользуемся, далее, оценкой
которая следует из соотношений
Учитывая (46), получим
Покажем теперь, что
В самом деле, если
то и
Если
при
Тем самым доказано, что
где
Покажем, что для погрешности
и имеет место оценка
где
В самом деле, запишем схему (45) в операторной форме
и умножим
части этого уравнения скалярно на
Так как
и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Из полученной априорной оценки и условия
следует сходимость схемы (43) со скоростью
в норме пространства
(в сеточной норме