7. Оценка решения разностной задачи Дирихле.
Пользуясь результатами п. 6, дадим равномерную оценку решения разностной задачи Дирихле
этой целью представим решение этой задачи в виде
где у — решение задачи (24) — (26) с однородным граничным условием
а у — решение однородных разностных уравнений (24), (25) при
с неоднородным граничным условием
Так как, согласно п. 4, условия теорем 1—3 выполнены, то для у сразу получим оценку
Правую часть
представим в виде суммы
в регулярных узлах. В соответствии с этим положим
где
решение задачи
а
решение задачи
Здесь
Каждую из функций
оценим отдельно. Для оценки
используем теорему сравнения. Предполагая, что начало координат лежит внутри области
возьмем мажорантную функцию
где
радиус р-мерного шара (окружности при
с центром в начале координат, целиком содержащего область
Учитывая, что
при
получаем
Очевидно, что
где
диаметр области
Выберем теперь постоянную
так, чтобы уравнение для У имело вид
Из (62) видно, что
так как
Сравнение (64) с (59) показывает, что
Поэтому, в силу теоремы 3, будем иметь
Учитывая, наконец, что
получим
Перейдем к оценке функции
используя ограниченность снизу сеточной функции
Покажем, что
где
В силу теоремы 5
где
(фактически берется максимум по
так как
в регулярных приграничных узлах). Из (71) следует, что
Объединим оценки (56), (66) и (72) и сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 6. Для решения разностной задачи Дирихле (24) — (26) с правой частью
представленной в виде
в регулярных по
узлах, на произвольной связной сетке
верна равномерная оценка
где
определено формулой (68).