Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типаЭтот параграф посвящен получению некоторых неравенств для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типа. Эти неравенства в дальнейшем будут использованы при получении априорных оценок для разностных задач, которые в свою очередь послужат основой для доказательства устойчивости и сходимости разностных схем. 1. Разностный оператор Лапласа в прямоугольной области.Пусть на плоскости
с границей
Введем в области
Сетка Рассмотрим простейшую аппроксимацию оператора Лапласа. Пусть
Справедлива
Рис. 17. Лемма 1. Для всякой функции
имеют место неравенства
Здесь
Прежде чем переходить к доказательству леммы, рассмотрим следующую задачу на собственные значения:
Решение задачи (3) будем искать методом разделения переменных. Пусть
Подставляя выражение
Так как мы ищем нетривиальные решения задачи (3), то можно разделить обе части этого уравнения на
или
причем
Это есть именно та задача на собственные значения, которую мы уже рассматривали в гл. I, § 2. Решением этой задачи является
и
Аналогичную задачу получаем для
где
Теперь можно найти функцию
Мы обозначили
поэтому
или
где
Собственные функции любые функции, заданные на и обращающиеся в нуль на границе Приступим теперь к доказательству леммы 1. Для одномерных сеток были введены формулы суммирования по частям и формулы Грина. Они полностью переносятся на двумерный случай. Первая формула Грина для двумерной сетки в прямоугольнике принимает вид
Преобразуем с помощью первой разностной формулы Грина скалярное произведение
так как по определению
и, взяв от нее левую разность по
где
и функции
Аналогичное выражение нормы получаем для
После подстановки выражений норм для
Нам осталось оценить сумму, стоящую в правой части. Для этой цели из-под знака суммы вынесем максимальное и минимальное собственные значения
Значения наименьшего и наибольшего собственных чисел известны:
Таким образом, получение неравенств (2) закончено, причем
Эти постоянные точны в том смысле, что в соотношении (2) левое неравенство переходит в равенство при
Для наименьшего собственного числа ранее (см. гл. I, § 2) была доказана следующая оценка снизу:
Будем считать поэтому что
Из равенства (16) видно, что Лемма 2. Для всякой функции
Доказательство. Разложим функцию
Отсюда получаем
и, следовательно,
Оценим теперь функцию
Из (8) получаем
так что
Для завершения доказательства нам осталось получить оценку
Обращаясь к формуле (9) и учитывая, что
Следовательно,
Воспользовавшись, далее, оценкой
получаем (18).
|
1 |
Оглавление
|