§ 2. Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типа

Этот параграф посвящен получению некоторых неравенств для разностных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллиптического типа. Эти неравенства в дальнейшем будут использованы при получении априорных оценок для разностных задач, которые в свою очередь послужат основой для доказательства устойчивости и сходимости разностных схем.

1. Разностный оператор Лапласа в прямоугольной области.

Пусть на плоскости задана прямоугольная область

с границей (рис. 17) и оператор Лапласа

Введем в области разностную сетку таким образом, чтобы прямые, образующие границу принадлежали классу прямых, образующих сетку:

Сетка равномерна по каждому направлению По направлению шаг равен по направлению равен

Рассмотрим простейшую аппроксимацию оператора Лапласа. Пусть

Справедлива

Рис. 17.

Лемма 1. Для всякой функции заданной на сетке и обращающейся в нуль на границе

имеют место неравенства

Здесь постоянные, значения которых определим позже, оператор как обычно, приняты обозначения

Прежде чем переходить к доказательству леммы, рассмотрим следующую задачу на собственные значения:

Решение задачи (3) будем искать методом разделения переменных. Пусть

Подставляя выражение в (3), найдем:

Так как мы ищем нетривиальные решения задачи (3), то можно разделить обе части этого уравнения на В результате получим

или

причем не зависит ни от ни от Тем самым для получаем задачу:

Это есть именно та задача на собственные значения, которую мы уже рассматривали в гл. I, § 2. Решением этой задачи является

и

Аналогичную задачу получаем для

где и ее решением является

Теперь можно найти функцию являющуюся решением задачи (3)

Мы обозначили

поэтому

или

где

Собственные функции ортонормированы в смысле определенного выше скалярного произведения так как они ортонормированы на каждом отрезке по направлениям Следовательно, по системе функций можно разлагать

любые функции, заданные на и обращающиеся в нуль на границе

Приступим теперь к доказательству леммы 1. Для одномерных сеток были введены формулы суммирования по частям и формулы Грина. Они полностью переносятся на двумерный случай. Первая формула Грина для двумерной сетки в прямоугольнике принимает вид

Преобразуем с помощью первой разностной формулы Грина скалярное произведение Получим

так как по определению Разложим теперь функцию по системе функций

и, взяв от нее левую разность по получим

где

и функции ортонормированы в смысле скалярного произведения На основании этого из (12) находим

Аналогичное выражение нормы получаем для

После подстановки выражений норм для в формулу (11) получаем

Нам осталось оценить сумму, стоящую в правой части. Для этой цели из-под знака суммы вынесем максимальное и минимальное собственные значения

Значения наименьшего и наибольшего собственных чисел известны:

Таким образом, получение неравенств (2) закончено, причем

Эти постоянные точны в том смысле, что в соотношении (2) левое неравенство переходит в равенство при где есть собственная функция задачи (3), отвечающая первому собственному значению. Аналогично правое неравенство в (2) переходит в равенство при Из неравенств (14) видно, что формулы для и не очень удобны, поэтому мы оценим снизу, сверху. Мы не очень сильно загрубим оценку для максимального собственного значения если в его выражении заменим на 1, так как Поэтому будем писать

Для наименьшего собственного числа ранее (см. гл. I, § 2) была доказана следующая оценка снизу:

Будем считать поэтому что

Из равенства (16) видно, что есть абсолютная постоянная, не зависящая от сетки Величина от сетки зависит и стремится к бесконечности, когда шаги сетки стремятся к нулю.

Лемма 2. Для всякой функции заданной на сетке и обращающейся в нуль на границе имеет место разностный аналог теоремы вложения:

Доказательство. Разложим функцию по системе собственных функций

Отсюда получаем

и, следовательно,

Оценим теперь функцию следующим образом:

Из (8) получаем

так что

Для завершения доказательства нам осталось получить оценку

Обращаясь к формуле (9) и учитывая, что при имеем

Следовательно,

Воспользовавшись, далее, оценкой

получаем (18).