4. Оператор со смешанной производной.
Рассмотрим эллиптический оператор со смешанной производной
Предположим, что выполнено условие эллиптичности
где 
постоянные, а 
- любой вектор. Для аппроксимации оператора воспользуемся выражением
Тогда
Заметим теперь, что 
Таким образом,
Оператор со смешанной производной
можно аппроксимировать по четырем точкам, как показано на рис. 19,а), выражением
или по таким четырем точкам, как показано на рис. 19,б), выражением
Рис. 19.
Нетрудно показать, что операторы 
аппроксимируют оператор 
с погрешностью 
а оператор
с погрешностью 
Сравнивая выражения (29) и (30), видим, что оператор
аппроксимирует выражение (26) с погрешностью 
Лемма 4. Для всякой сеточной функции 
заданной на 
и обращающейся в нуль на границе 
справедливы неравенства
где оператор А определен формулой (31), постоянные 
формулой (27), а 
— формулами (15) и (16).
Доказательство. Представим оператор А в виде суммы
где
Очевидно, что (32) достаточно доказать, например, для 
Используя вновь формулу Грина, получим
Обозначим
Тогда, внося в (33) знак суммы под знак скалярного произведения, получим
Используя условие эллиптичности (27), получим отсюда
Далее, повторяя доказательство леммы 1, получим (32).
Замечание 
силу (11) и (33) неравенства (34) можно записать в виде
где 
для 
заданных на 
и равных нулю на границе 
в виде операторных неравенств (см. гл. I, § 3):
Операторы 
удовлетворяющие неравенствам (35), будем называть энергетически эквивалентными с постоянными 
операторами (употребляются и другие термины — эквивалентные по спектру (Е. Г. Дьяконов [7]), сходные (С. Г. Михлин, X. Л. Смолицкий [1]) и др.).
Замечание 2. Пусть дан оператор
и выполнено условие эллиптичности
В 
-мерном параллелепипеде
вводится сетка
где 
и строится разностный оператор
Он аппроксимирует 
с погрешностью 
Вводя скалярное произведение
и рассматривая множество сеточных функций, заданных на 
и равных нулю на границе 
по аналогии со случаем 
убеждаемся, что оператор 
является положительно определенным и для него выполнены неравенства (35), где 
