§ 2. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных схем

1. Некоторые разностные формулы.

В дальнейшем для преобразования различных разностных выражений нам потребуются формулы разностного дифференцирования произведения, формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина. В этом пункте мы получим эти формулы, проводя аналогию с соответствующими формулами дифференциального исчисления.

1) Формулы разностного дифференцирования произведения. Как известно, в дифференциальном исчислении имеет место следующая формула дифференцирования произведения функций

Выше, в § 1, п. 2 для сеточных функций были введены два типа разностных производных — левые и правые. Соответственно этому имеется и две формулы разностного дифференцирования произведения:

Здесь введены обозначения

Обратим внимание на то, что в этих формулах происходит сдвиг индекса. Докажем, например, первое из этих равенств. Записывая равенство (1) в индексной форме

непосредственно убеждаемся в его справедливости.

2) Формулы суммирования по частям. В интегральном исчислении справедлива формула интегрирования по частям

Для сеточных функций, как и в предыдущем случае, имеют место формулы двух типов

Здесь использованы следующие обозначения

Докажем, например, (3). На основании формулы (1) имеем:

Очевидно далее, что

Подставляя последнее выражение в (6) и учитывая (5), получим (3).

В дальнейшем мы будем часто использовать неравномерную сетку, которую, как уже говорилось в § 1, п. 1, в отличие от равномерной будем обозначать через На этой сетке формулы скалярного произведения и разностные формулы суммирования по частям выглядят несколько иначе

где

Здесь введено также обозначение для разностной производной на неравномерной сетке

и для скалярного произведения на неравномерной сетке Для доказательства формулы (7) заметим, что

Подставляя это выражение в скалярное произведение

и повторяя доказательство тождества (3), приходим к (7). 3) Первая формула Грина. Равенство

обычно называют первой формулой Грина.

Для сеточных функций аналог формулы Грина можно получить, пользуясь формулами суммирования по частям. Подставляя в (3)

получаем первую разностную формулу Грина-.

Если то подстановки обращаются в нуль и первая формула Грина имеет вид

В частности, при получаем

Аналогичный результат справедлив и в случае неравномерной сетки:

4) Вторая формула Грина, В интегральном исчислении вторая формула Грина имеет вид

Подставив в получим

Вычитая теперь (9) из (8), приходим к разностному аналогу второй формулы Грина

Точно так же для неравномерной сетки имеем:

Если обращаются в нуль при то подстановки равны нулю и

Эти формулы показывают, что оператор является самосопряженным,

5) Неравенство Коши — Буняковского, Нам понадобится в дальнейшем известное неравенство Коши — Буняковского (см., например, Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1])

где скалярное произведение в некотором линейном пространстве и . В частности, по можно понимать одно из введенных выше скалярных произведений.