Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯНастоящая глава носит вводный характер. В §§ 1, 2 на простейших примерах поясняются основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость и дается представление о некоторых методах исследования устойчивости и сходимости, таких как метод разделения переменных, принцип максимума, метод энергетических неравенств. В § 3 изложены необходимые для дальнейшего вспомогательные сведения из функционального анализа. § 1. Основные понятия1. Сетки и сеточные функции.Для того, чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие два шага. 1. Необходимо заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения. 2. Необходимо заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором, а также сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных. После осуществления такой процедуры мы приходим к алгебраической системе уравнений. Таким образом, задача о численном решении исходного (линейного) дифференциального уравнения сводится к вопросу о нахождении решения полученной алгебраической системы. Остановимся на этих вопросах несколько подробнее. При численном решении той или иной математической задачи мы, очевидно, не можем воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области евклидова пространства. Естественно поэтому выбрать в этой области некоторое конечное множество точек и приближенное решение искать только в этих точках. Такое множество точек называется сеткой. Отдельные точки называют узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Таким образом, мы заменили область непрерывного изменения аргумента сеткой, т. е. областью дискретного изменения аргумента; иными словами, мы осуществили аппроксимацию пространства решений дифференциального уравнения пространством сеточных функций. Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависят от выбора сетки. Рассмотрим несколько примеров сеток. Пример 1. Равномерная сетка на отрезке. Разобьем единичный отрезок [0, 1] на
Рис. 1. В это множество можно включить граничные точки На отрезке [0, 1] вместо функции непрерывного аргумента
Рис. 2. Пример 2. Равномерная сетка на плоскости. Рассмотрим множество функций двух аргументов
Разобьем отрезки [0, 1] оси
Эта сетка имеет шаги и той же прямой (горизонтальной или вертикальной), расстояние между которыми равно шагу сетки Пример 3. Неравномерная сетка на отрезке. Рассмотрим отрезок Вводя произвольные точки
Пример 4. Сетка в двумерной области. Пусть на плоскости
Рис. 3. Итак, область Вместо функций
Если область Обычно рассматриваются множества сеток Функции Рассматривая множество сеток Укажем простейшие типы норм в Ни для случая сеток 1) Сеточный аналог нормы в С:
2) Сеточные аналоги нормы в
В дальнейшем будем, как правило, пользоваться нормами, индуцированными скалярными произведениями на Пусть 1. Сеточная функция 2. Пространство Имея сеточную функцию
для любого вектора и из Мы всюду используем второй путь, исследуем погрешность разностных методов в пространстве сеточных функций. В большинстве случаев эти пространства являются конечномерными. Как будет показано в дальнейшем, оказывается возможным провести изложение основных вопросов теории разностных схем, трактуя После того, как мы познакомились на простейших примерах со способами построения сеток и тем самым пространств Ни сеточных функций, перейдем к вопросу о разностной аппроксимации дифференциальных операторов.
|
1 |
Оглавление
|