6. Схема повышенного порядка точности для уравнения параболического типа с эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные.

Пусть прямоугольник с границей Рассмотрим в цилиндре первую краевую задачу для параболического уравнения

где

Условие параболичности имеет вид

Напишем для задачи (59) экономичную факторизованную схему, имеющую точность где шаг сетки

шаг квадратной сетки

Пусть у — граница сетки

В гл. IV, § 2, п. 5 для стационарной задачи

была построена схема, имеющая точность Эта схема имеет вид

где

Было показано, что оператор энергетически эквивалентен оператору

Для получения схемы повышенного порядка точности, аппроксимирующей нестационарную задачу (59), применим следующий формальный прием. Заменим в уравнении (60)

функцию выражением

где решение уравнения (59).

В результате получим

Подставим сюда

и заменим производные по разностными отношениями:

Отбрасывая слагаемые получим

Произведем, наконец, замену и на и подставим функцию правую часть уравнения (60). Тогда получим трехслойную схему

Из построения следует, что погрешность аппроксимации равна

Схема (63), как следует из общей теории устойчивости трехслойных схем (см. гл. VI, § 2) устойчива при условии

Напишем безусловно устойчивую схему с тем же порядком аппроксимации. Для этого выберем регуляризатор

где постоянная из (62). Отсюда и из (62) видно, что

Отправляясь от (63), напишем схему

Безусловная устойчивость этой схемы следует из того, что для нее при любых выполнено достаточное условие устойчивости

В самом деле,

Погрешность аппроксимации схемы (65)

Из (64) следует, что

Перейдем теперь к построению факторизованной схемы. Перепишем исходную схему (65) в виде:

и заменим оператор при

факторизованным оператором

Тогда вместо (67) получим

Это уравнение выполняется во всех внутренних узлах и всех К нему надо присоединить граничное условие

и начальные условия

Первое начальное условие является естественным, второе условие строится по правилу, указанному в гл. I, § 1, п. 6.

Задача (68) может быть решена при помощи следующего алгоритма переменных направлений

Функции находятся по формулам прогонки вдоль строк и столбцов соответственно.

Запишем задачу (68) в каноническом виде

Пусть решение задачи (69), а решение исходной задачи (59), — погрешность схемы. Подставляя и в (69), получаем для 2 следующую задачу:

где

Очевидно, что можно рассматривать как линейные операторы, определенные в пространстве сеточных функций, заданных на сетке и обращающихся в нуль на ее границе. Правая часть уравнения (70) есть погрешность аппроксимации уравнения (1) факторизованной схемой (69):

где — погрешность аппроксимации схемы (65). Из (66) и (72) следует, что

в классе функций имеющих непрерывные в производные по до шестого порядка, по до третьего порядка включительно, а также смешанные

производные Из выражения для следует, что в этом же классе функций

Регуляризатор выбран так, что

Самосопряженные операторы положительны и перестановочны, поэтому их произведение есть самосопряженный положительный оператор, Отсюда следуют неравенства

доказывающие устойчивость схемы (70). В силу теоремы 4 из гл. VI, § 2 для задачи (70) справедлива оценка

где

Так как то оценку (75) можно переписать в виде

Оценим величину Подставляя выражение (71) для оператора получим

Слагаемое является величиной если огранили почена производная Действительно,

Покажем, что и остальные слагаемые в (77) есть величины если существуют ограниченные в цилиндре производные

Подставляя в формулу

разложение

получаем Отсюда следует

что и требовалось.

Итак, Отсюда, а также из (73) и (76) следует, что

Чтобы получить оценку в воспользуемся леммой 5 из гл. VI, § 2. Так как то

Учитывая оценку (78), убеждаемся в том, что схема (69) сходится со скоростью в норме пространства

т. е. в сеточной норме