Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИОдним из важных достижений в вычислительной математике является разработка экономичных разностных методов для решения многомерных (с несколькими пространственными переменными Экономичным методам посвящены работы В. Б. Андреева [1]-[6], Бейкера и Олифанта [1], К. А. Багрнновского и С. К. Годунова [1], Вашпресса [3], Гана [1], Е. Г. Дьяконова [1]-[8], Дугласа [1], [4], Дугласа и Гана [2], А. Н. Коновалова [2]-[5], Г. И. Марчука и Н. Н. Яненко [1], Писмена и Рэкфорда [1], А. А. Самарского [4]-[16], [19], В. К. Саульева [1], И. В. Фрязинова [2]-[6], Хаббарда [1], [2], Н. Н. Яненко [1]-[7] и др. Мы суммируем результаты этих работ, проводя изложение с единой точки зрения и опираясь на общую теорию устойчивости, изложенную в гл. VI. Основное внимание будет уделено принципиальным вопросам теории экономичных разностных схем. § 1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) для уравнения теплопроводности1. Об экономичных схемах.Выясним на простейших примерах предпосылки к написанию экономичных разностных схем, Рассмотрим
Пусть Оператор
Схема (2), как было показано в гл, VI, § 1, устойчива по начальным данным при
Полагая
устойчивую при условии Если (1) — уравнение с переменными коэффициентами, т. е.
то
и явная схема (3) устойчива при Отсюда видно, что допустимый шаг х для явной схемы надо уменьшать с ростом числа измерений и ростом максимума коэффициента теплопроводности. Последнее требование является особенно жестким в случае задач с сильно меняющимися коэффициентами. По этой причине использование явных схем для решения не только многомерных, но и одномерных Рассмотрим теперь чисто неявную схему с
Для решения этой системы Итак, явная схема требует небольшого числа действий, но ее устойчивость имеет место при достаточно малом Возникает вопрос: можно ли построить схему, сочетающую лучшие качества явной и неявной схем, т. е. 1) безусловно устойчивую (как неявная схема), 2) требующую для перехода со слоя на слой затраты (как и для явной схемы) числа арифметических действий Такие схемы принято называть экономичными. Приведем один пример для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, показывающий, что существует неявная схема, требующая меньшего числа действий (более экономичная), чем явная схема. Пример
где Пусть
Для определения Нетрудно показать, что написанная схема абсолютно (при любых
После подстановки этого выражения в (5), получим схему
оператор которой
есть произведение двух сопряженных друг другу «треугольных» операторов (В — факторизованный оператор), так как Очевидно, что В — самосопряженный оператор. Остается проверить выполнение достаточного условия устойчивости:
так как Пусть 2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная схема).Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности
Область В
Напомним, что в случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида
которая решается стандартным методом прогонки с затратой числа Обратимся к нашей двумерной задаче в прямоугольнике. Сетку Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (8) методом прогонки при фиксированном Весьма четко эту алгоритмическую идею выражает неявная схема переменных направлений (продольно-поперечная схема), предложенная Писменом и Рекфордом [1] и Дугласом [1] в 1955 году. Наряду с основными значениями искомой сеточной функции
Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах
и разностные краевые условия, например, в виде
где
Смысл краевого условия (12) ясен, а условие (13), определяющее граничное значение у, будет пояснено ниже. Отметим, что это условие было указано в более поздних работах (см., например, С. А. Кряквина [1]). Таким образом, разностная краевая задача Остановимся на методе решения этой задачи. Перепишем (9) и (10) в виде
Условимся о следующих обозначениях:
при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то мы его не пишем. Тогда (15) можно записать в виде (8),
Пусть задано 3. Устойчивость.Для исследования устойчивости схемы (9) — (14) проведем исключение промежуточного значения у. Вычитая из (9) уравнение (10), находим
Подставим (18) в (9):
Учитывая, что
Из предыдущих рассуждений ясно, что формула (18) должна выполняться и при
что совпадает с краевым условием (13), (14). Тем самым доказано, что решение задачи (9) — (14) удовлетворяет уравнению (20) при дополнительных условиях
С другой стороны, решение задачи (20), (21) является также решением задачи
и подставим это выражение в (20); после несложных преобразований получим уравнение (9). Из него и из (18) следует (10). Тем самым доказана эквивалентность задач Применим общую теорию устойчивости двухслойных схем. Краевые условия предполагаются однородными,
Введем пространство
и нормой II Норма в энергетическом пространстве
или
Рассматривая
где
Операторы
т. е. схема (24) устойчива в
Из условия (25) следует, что для схемы (24) верна теорема 8 из гл. VI, § 1 при
Нетрудно получить априорную оценку
В самом деле, применим к обеим частям уравнения (24) оператор
Так как Теорема 1. Схема (22) устойчива по начальным данным и по правой части. Для решения задачи (22) верны априорные оценки (26), (27). 4. Сходимость и точность.Изучение сходимости и точности схемы (9) — (14), в силу ее эквивалентности схеме (20), (21), будем проводить для задачи (20), (21). Пусть
где
Отсюда видно, что
если
В самом деле,
Так как для задачи (29) справедлива оценка (26) при Теорема 2. Если выполнены условия (31), то схема (20), (21) сходится в сеточной норме (23) со скоростью 5. Схема для уравнения с переменными коэффициентами.Напишем схему переменных направлений для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
Все уравнения (9) — (14) записываются без изменения, меняется лишь формула для
где
Все рассуждения, показывающие эквивалентность схем (9) — (14) и (20), (21), и в данном случае сохраняют силу. Схема (20) имеет на решении
где с 1 зависит от максимума производных
где
Оценки такого типа можно найти, например, в работе Е. Г. Дьяконова [4]. Из (34), очевидно, следует сходимость схемы со скоростью несколько измененная схема
при однородных краевых условиях
Рассмотрим операторно-разностный аналог задачи (37):
где
Действительно,
откуда и следует (39). Перепишем (38) в виде
Воспользуемся неравенством треугольника и леммой 1:
Отсюда находим
где
Суммирование по
Нетрудно убедиться в том, что априорная оценка (41) сохраняет силу, если норму
Тем самым доказана Теорема 3. Схема (37) абсолютно устойчива (при любых Однако априорная оценка (41) сама по себе не позволяет доказать сходимость схемы (37) со скоростью
|
1 |
Оглавление
|