5. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения однородных разностных схем.

Различные физические процессы (теплопроводности или диффузии, колебаний, газодинамики и т. д.) характеризуются некоторыми интегральными законами сохранения (тепла, массы, количества движения, энергии и т. д.). При выводе дифференциальных уравнений математической физики обычно исходят из некоторого интегрального соотношения (уравнения баланса), выражающего закон сохранения для малого объема. Дифференциальное уравнение получается из уравнения баланса при стягивании объема к нулю в предположении существования непрерывных производных, входящих в уравнение.

Метод конечных разностей физически означает переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели. При таком переходе естественно требовать, чтобы основные свойства физического процесса сохранялись. Такими свойствами, прежде всего, являются законы сохранения. Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называют консервативными (или дивергентными). Законы сохранения для всей сеточной области («интегральные законы сохранения») для консервативных схем должны быть алгебраическим следствием разностных уравнений.

Для получения консервативных разностных схем естественно исходить из уравнений баланса, записанных для элементарных объемов (ячеек) сеточной области. Входящие в эти уравнения баланса интегралы и производные следует заменить приближенными разностными выражениями. В результате получаем однородную разностную схему. Такой метод получения консервативных однородных разностных схем будем называть интегро-интерполяционным методом (методом баланса).

Проиллюстрируем этот интегро-интерполяционный метод на примере уравнения (1), описывающего стационарное

распределение температуры в однородном стержне Напишем уравнение баланса тепла на отрезке

где - поток тепла, - мощность стоков тепла (при источников), пропорциональных температуре, плотность распределения внешних источников (стоков) тепла.

Сток тепла происходит за счет теплообмена с внешней средой, происходящего на боковой поверхности стержня. Величина дает количество тепла, втекающее через сечение на отрезок количество вытекающего через сечение тепла; третье слагаемое в левой части (20) дает количество тепла, выделяющегося на отрезке за счет распределенных с плотностью источников тепла, интеграл в правой части (20) есть количество тепла, отдаваемое внешней среде за счет теплообмена на боковой поверхности.

Чтобы получить из (20) разностное уравнение, заменим и интеграл, содержащий и, линейными комбинациями значений и в узлах сетки. Для этого воспользуемся интерполяциями в окрестности узла Возьмем простейшую интерполяцию

где есть среднее значение на отрезке длины Проинтегрируем равенство на отрезке

Предполагая, что при имеем:

Отсюда находим приближенное значение потока

Отметим, что есть тепловое сопротивление отрезка

Подставляя (21) и (22) в (20) и обозначая через искомую функцию, получим консервативную разностную схему

где

Разностное уравнение (23) написано в фиксированном узле Считая узел произвольным, получаем уравнение (23) во всех внутренних узлах сетки. Так как коэффициенты во всех узлах определяются по одним и тем же формулам (24), то схема (23) — (24) является однородной консервативной схемой. Поэтому в (23) и (24) индекс можно опустить и вместо (23) писать

В общем случае в формуле для потока коэффициент является некоторым функционалом значений на отрезке

Отметим, что закон сохранения во всей сеточной области («интегральный» закон сохранения) для любой (с любыми консервативной схемы вида (23) есть алгебраическое следствие уравнения (23).

В самом деле, обозначая через разностное выражение потока тепла при запишем равенство (23) в виде Суммируя

по получим разностный закон сохранения тепла во всей сеточной области

Он является разностной аппроксимацией интегрального закона сохранения для уравнения (1).

Интегро-интерполяционный метод был использован для решения ряда задач (см., например, Г. И, Марчук [1], Б. Л. Рождественский и Н. Н. Яненко [1]).