Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений1. Метод переменных направлений в случае несамосопряженных операторов.Пусть дано уравнение
где
Для решения уравнения рассмотрим схему переменных направлений (29) из § 2, п. 4 с параметрами Для погрешности Рассмотрим оператор перехода
Лемма 1. Пусть
Доказательство. Вычислим
Используя условия (1), имеем
Обозначая
что и дает оценку (2). Таким образом
Нетрудно заметить, что функция Итак, имеет место оценка
если самосопряженных Тот случай, когда 2. Случай несамосопряженного оператора перехода.Рассмотрим теперь уравнение
где А — положительно определенный несамосопряженный Для решения уравнения (3) будем пользоваться двухслойной итерационной схемой (2) из § 2 с самосопряженным положительно определенным оператором В. Выше было показано, что неявная схема (2) из § 2 эквивалентна явной схеме
при Для оценки скорости сходимости итераций рассмотрим однородное уравнение с произвольным
Из предыдущего ясно, что достаточно ограничиться изучением явной схемы, получить для нее оценку Рассмотрим сначала случай, когда заданы нижние грани операторов
Предполагая, что
Выбирая Таким образом, если для несамосопряженного оператора С выполнены условия (5), (6), то справедлива оценка
Улучшить эту оценку путем выбора 3. Оценка ... при увеличении объема информации.Объем информации относительно оператора Здесь дается точное решение задачи о минимуме Представим С в виде суммы двух операторов, симметричного
где С — сопряженный к С оператор, так что
где Предположим, что С удовлетворяет условиям
где
Наша задача — выбрать параметры
Рассмотрим второе слагаемое в правой части неравенства (11):
так как Итак, мы имеем
Найдем теперь минимум функции
Условие
Отсюда получаем квадратное уравнение для а:
и решаем его:
(второй корень непригоден, так как он может быть отрицательным при некоторых значениях параметров
Преобразуем подкоренное выражение
Найдем теперь
Таким образом доказана Теорема 1. Пусть
Тогда при
для нормы оператора перехода схемы (4) верна оценка
Замечание. Пусть С задан в комплексном гильбертовом пространстве Тогда теорема 1 сохраняет силу. Теорема . Пусть
Для практического использования этой теоремы полезна Лемма 2. Пусть Тогда выполнены условия (18) с постоянными
Найденные здесь априорные оценки позволяют получить оценку числа итераций, достаточного для нахождения по схеме (2) из § 2 приближенного решения задачи
4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод минимальных поправок.Двухслойную итерационную схему
можно трактовать как метод поправок
где
находится поправка
(см. § 2, п. 1), или
где
В случае несамосопряженного оператора А мы получили два типа оценок для скорости сходимости итераций и два типа формул для Может оказаться, что постоянные
или формулой метода минимальных поправок
(при Дадим вывод формулы (23). Пусть А — несамосопряженный положительно определенный оператор, В — самосопряженный положительно определенный оператор на гильбертовом пространстве
Это уравнение будем решать методом минимальных невязок по формуле
где
Переход от (24) к (21) осуществляется при помощи подстановок
получаем формулу (23). Более просто формулу (23) можно получить из условия ортогональности
или из условия минимума
Дифференцируя это выражение по Сходимость метода наискорейшего спуска (см. Л. В. Канторович [1]) и метода минимальных невязок (см. М. А. Красносельский, С. Г. Крейн [1]) доказана для случая При выводе формулы для Докажем сходимость метода минимальных поправок, предполагая, что
Нам понадобится следующая основная Лемма 3. Пусть С — несамосопряженный оператор с границами
и пусть существуют числа
и такие, что справедлива оценка
Тогда имеет место неравенство
Доказательство. По условию
для всех Отсюда находим
или
По условию Вычислим
Пусть максимум достигается внутри отрезка
так что
Подставляя это значение в (30), получаем
что и требовалось доказать. Нетрудно убедиться, что и при Теорема 3. Пусть С— несамосопряженный оператор,
Тогда метод минимальных невязок
сходится со скоростью
так что справедлива оценка
Доказательство. Будем исходить из уравнения для невязки
Условия (27) и (28) (см. теорему 1) выполнены при
Если оператор С самосопряжен, то
Такая оценка была получена М. А. Красносельским и С. Г. Крейном [1]. Покажем, как, опираясь на лемму 3, оценить сходимость метода наискорейшего спуска. Все делается сначала для явных схем
Введем обозначение
Формула для
После этого повторяются рассуждения, приводящие к доказательству теоремы 3. В результате получаем оценку
Таким образом для метода наискорейшего спуска верна та же оценка
что и для явной схемы с постоянным Следствия. 1. Для неявного метода минимальных поправок (20), (23) верна оценка
2. Для неявной схемы скорейшего спуска имеем
5. Двухступенчатый метод.Рассмотрим уравнение
Для поправки
Оператор В задается либо конструктивно, в явном виде (например, В есть факторизованный оператор
или
либо строится в результате некоторого вычислительного процесса. Это имеет место для одного из вариантов метода поправок — двухступенчатого метода или метода составных итераций. Он состоит в следующем. Пусть оператор
и выполнена одна из групп условий (18), (5), (6) при Для вычисления поправок
решается либо прямым (дающим точное решение) методом
Итак, пусть дан некоторый метод внутренних итераций. Пусть
то в силу самосопряженности
Подставляя
где
Если
Требование перестановочности
Предположим, что для отыскания
где I — номер итерации, Чтобы свести эту схему к явной схеме перестановочность
и мы получим схему
где Применим к (33) оператор
где
или
Отсюда находим
После подстановки этого выражения в (33) получим
где Условие окончания итераций
Покажем, что
так как
или
параметр I. Если 1) используется чебышевская последовательность параметров
II. Если
где 1) либо по формуле для неявного метода наискорейшего спуска
2) либо по формуле метода минимальных поправок
как в случае самосопряженного Из последней формулы видно, что двухступенчатый метод Минимальных поправок требует последовательного решения при помощи одного и того же метода итераций
Зная В силу теоремы 1 имеет место оценка
где Внутренние итерации для более простого уравнения В частности, если применить метод переменных направлений с циклическим набором параметров (см. § 1), или же с набором параметров по Жордану, если Если
итераций, где Если Возможен, наконец, случай, когда границы оператора либо неизвестны, либо плохо определяются. Тогда внутренние итерации для нахождения поправки можно проводить по схеме минимальных невязок или по схеме наискорейшего спуска. Применение двухступенчатого метода или метода поправок приводит к увеличению числа последовательностей, которые необходимо хранить в быстрой оперативной памяти вычислительной машины. Однако, в ряде случаев этот метод является весьма экономичным. Двухступенчатый метод для решения дифференциальных уравнений рассматривался Л. В. Канторовичем [2], Б. А. Самокишем [1] и др., а для разностных эллиптических уравнений — Е. Г. Дьяконовым [2], [7], Ганом [1], [2], С. Г. Михлиным [1]. При этом в качестве регуляризатора Комбинация вариационного метода с методом переменных направлений рассматривалась Г. И. Марчуком [2], С. К. Годуновым и Г. П. Прокоповым [1].
|
1 |
Оглавление
|