Дополнение
§ 1. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами
Рассмотрим вариант метода прогонки, применяемый при решении задач с сильно меняющимися коэффициентами. Примерами таких задач являются задачи гидродинамики с теплопроводностью и магнитной гидродинамики, где коэффициенты теплопроводности, электропроводности сильно зависят от термодинамических параметров среды. В случае тепловых задач могут иметь место адиабатические участки, где теплопроводность отсутствует, а также изотермические участки, где теплопроводность бесконечно велика. В магнитных задачах — соответственно, идеально проводящие и неэлектропроводпые участки. Поясним существо метода на модельной задаче: найти функцию
удовлетворяющую уравнению
и дополнительным условиям
где
Коэффициент
сильно меняющаяся функция
Когда коэффициент теплопроводности
стремится к бесконечности, а производная
к нулю, величина потока
остается конечной. Поэтому при решении задачи (1), (2) в качестве искомой функции, кроме
введем также поток
Предположим наличие между искомой функцией
и потоком
связи вида
Объединяя (6) — (8), учитывая (9), приходим к задаче
Предположим, что существует связь
и найдем рекуррентные формулы для вычисления прогоночных коэффициентов
и искомых функций
Поскольку в данном случае
то оказывается удобным дополнительное условие нормировки взять в виде
Пусть получено соотношение (12) при условии (13), связывающее функции
и ирогоночные коэффициенты
в точках и
Исключая
и из (12), (10) и требуя, чтобы соотношение (12) выполнялось в точке
(т. е. имело бы место равенство
приходим к соотношениям
где
— произвольный пока множитель. Потребуем, чтобы в точках
выполнялось соотношение (13), т. е.
Тогда находим,
Из условий
и краевого условия
имеем
где
Для вычисления и можно пользоваться рекуррентными соотношениями
Для определения значения из второго граничного условия (11) и первого рекуррентного соотношения (17) при
получаем
Отметим, что коэффициент
при счете не используется. При выбранной нормировке
прогоночные формулы оказываются наиболее простыми.
При больших коэффициентах
вычисление потока по формуле
приводит к существенной потере точности. Это и послужило причиной введения потока
в качестве дополнительной искомой функции и вычисления его по рекуррентному соотношению (17).
В том случае, когда величина
оказывается малой, например,
вместо формул (14), (16) следует пользоваться формулами
и
Из структуры приведенных рекуррентных формул видно, что они устойчивы по отношению к случайной ошибке.