Правую часть
уравнения (16) можно аппроксимировать сеточной функцией
так, чтобы
Считая
непрерывной функцией, полагаем
В результате задаче (16) ставим в соответствие разностную задачу Дирихле: найти сеточную функцию
определенную на
удовлетворяющую во внутренних узлах (на
уравнению
и принимающую на границе
заданные значения
Отметим, что сетка
при
называется прямоугольной, а при
квадратной сеткой.
Напишем подробное выражение для
на квадратной сетке:
Пусть
Разрешим уравнение
относительно у.
Значение у в центре шаблона есть среднее арифметическое значений у в остальных четырех узлах шаблона. Эта формула является разностным аналогом формулы среднего значения для гармонической функции.
Из (17), (18) видно, что значения
в вершинах прямоугольника не используются. Это и определило выбор
В случае третьей краевой задачи и схемы
(см. п. 9) граница
состоит из всех узлов, лежащих на границе прямоугольника, включая его вершины.
Методы численного решения системы — 1)
алгебраических уравнений (17) будут рассмотрены отдельно (см. гл. VIII).
Для оценки точности разностной схемы (17), (18), образуем разность
и, где у — решение задачи (17), (18), и — решение задачи (16). Подставляя
и в (16), получим для 2 задачу
где
погрешность аппроксимации уравнения (16) схемой (17).
Так как
Из (8) следует, что
где черта сверху означает, что берутся значения в некоторых средних точках на интервалах
соответственно. Обозначая
получаем
Доказательство сходимости схемы (17) сводится к оценке решения задачи (19) через погрешность аппроксимации. Такая оценка будет получена в дальнейшем при помощи принципа максимума для произвольной области и любого числа измерений.