§ 2.5. Астигматизм и кривизна поля

Член в формуле (2.6) выражает астигматизм. Астигматизм проявляется в том, что лучи, лежащие в меридиональной плоскости (рис. 2.7), соберутся в один фокус а лежащие в сагиттальной плоскости в другой — Лучи, проходящие через сечения объектива, параллельные меридиональному, соберутся на горизонтальной прямой а параллельные сагиттальному — на вертикальной прямой Отрезки называются

Рис. 2.7. (см. скан) Астигматизм наклонного пучка. Меридиональный пучок собирается в точке сагиттальный в точке оптическая ось, О — оптический центр, и соответственно сечения еридиональной плоскостью меридиональной и сагиттальной фокальной поверхностей, поверхности Пецваля и плоскости Гаусса

соответственно меридиональной и сагиттальной фокалями. При наличии астигматизма поверхность волнового фронта, идущего из объектива, имеет двоякую кривизну. Расстояние (считая в направлении от точки к точке между меридиональным и сагиттальным фокусами называется астигматической разностью или продольным астигматизмом. Она является мерой астигматизма и обозначается

Составляющие поперечного астигматизма в плоскости Гаусса, записанные в полярной системе координат будут

Это есть уравнение эллипса с соотношением осей В качестве меры поперечного астигматизма может быть принята величина к

где k — число поверхностей в системе. 111 называется коэффициентом астигматизма.

Размер астигматического изображения в плоскости Гаусса растет пропорционально квадрату углового расстояния звезды от центра поля и для однотипных систем он пропорционален относительному отверстию А:

Распределение энергии в пятне при наличии только одного астигматизма равномерное.

Астигматизм допустим, если волновая аберрация не превышает Для этого продольный астигматизм А должен удовлетворять условию

Для разных углов меридиональное и сагиттальное изображения располагаются приблизительно по параболическим поверхностям. Их радиусы кривизны при вершинах мы обозначим через Значения этих радиусов

Величины и называются коэффициентам и меридиональной (или тангенциальной) и сагиттальной кривизны поля. Средняя кривизна поля

величина называется коэффициентом средней кривизны поля.

Обозначим расттояние от точки преломления до точки пересечения меридионального луча в пространстве предметов с оптической осью через Аналогично расстояние через

Сопряженные им отрезки в пространстве изображений обозначим через и Если рассматриваемая поверхность не является в системе первой, то точки могут не совпадать.

Для узкого пучка, падающего под углом на сферическую поверхность радиуса разделяющую среды с показателями преломления , известны формулы Юнга, связывающие между собой сопряженные отрезки

Эти формулы позволяют выполнить расчет астигматизма, для чего достаточно выразить через а через и значения и Однако нам представляется, что при наличии ЭВМ и универсальной программы расчета хода луча по формулам Федера (см. § 3.5, 3.6, 3.11), проще выполнить расчет хода узкого пучка лучей и найти координаты точек их пересечения по (см. § 3.6).

Исправление астигматизма еще не гарантирует того, что изображения будут оптимальными на плоской фокальной поверхности. Наилучшее изображение будет на изогнутой поверхности, лежащей посередине между поверхностями меридиональных и сагиттальных фокалей. Кривизна ее

Эта величина называется кривизной поля. На средней поверхности изображение будет круглое, в фокалях — в виде черточки; во всех других плоскостях — эллипсом. На рис. 2.7 и 2.8 представлены меридиональные сечения поверхностей меридиональных и сагиттальных фокусов, средней между ними поверхности (ср.), поверхности Пецваля (см. ниже) и плоскости Гаусса

Рис. 2.8. (см. скан) Сечения меридиональных и сагиттальных фокальных поверхностей, поверхности Гаусса и Пецваля для разных случаев: большие недоисправлениые астигматизм и кривизна поля по Пецвалю (а); астигматизм уменьшен, кривизна поля осталась прежней астигматизм исправлен полностью, кривизна поля переисправлена (в); астигматизм исправлен полностью, кривизна поля неисправлена поверхность Пецваля недоисправлена, меридиональная фокальная поверхность переисправлена, сагиттальная — плоская кривизна поля по Пецвалю исправлена, астигматизм недоисправлен кривизна поля по Пецвалю переисправлена; наилучшая резкость в плоскости Гаусса меридиональная фокальная поверхность плоская, остальные переисправлены (з); все поверхности переисправлены

Радиус кружка рассеяния на сфере средней кривизны, вызванный кривизной поля, равен

т. е. кружок, обусловленный кривизной поля растет пропорционально квадрату удаления точки от центра поля.

Можно представить себе воображаемую параболическую поверхность, касающуюся двух фокальных поверхностей и в их общей точке и имеющей в своей вершине радиус кривизны определяемый из условия

Эта новержяосгь называется поверхностью Пецваля.

Для сложной системы радиус поверхности Пецваля определяется по формуле

носящей название теоремы Пецваля. Сумма, входящая в это выражение и умноженная на фокусное расстояние системы,

называется суммой Пецваля. Величина называется кривизной Пецваля. Кривизна Пецваля не зависит от толщины линз, воздушных промежутков между оптическими элементами системы и коэффициентов асферичности поверхностей.

Если астигматизм системы исправлен, то поверхности меридиональных и саггитальных фокусов совпадают с поверхностью Пецваля (рис. 2.8, в, г) и

изображения на поверхности Пецваля будут круглыми.

Из формул (2.23) и (2,24) следует, что в рамках теории аберраций третьего порядка в сложной системе

где показатель преломления последней среды (в телескопах обычно показатели преломления сред, разделяемых поверхностью, имеющей кривизну При исправленных сферической аберрации, коме и астигматизме кривизна поля не препятствует получению резких изображений на поверхности Пецваля, но она требует использовать не плоские, а изогнутые светоприемники (напимер, фотопластинки) или применять специальные полеспрямляющие линзы (см. § 5.5).

Если в системе исправлен астигматизм (т.е. то и сумма характеризует кривизну Пецваля. Условие

называется условием Пецваля. Оно (в рамках теории аберраций третьего порядка) является необходимым для того, чтобы поверхность Пецваля являлась плоскостью. Выполнение условия Пецваля (2.27) обеепечивает плоское поле лишь в случае исправленного астигматизма. Для того, чтобы в рамках теории аберраций третьего порядка поле телескопа было плоским, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) исправление астигматизма,

2) выполнение условия Пецваля.

В случае чистого астигматизма (т.е. когда исправлены сферическая аберрация и кома) изображение на поверхности Пецваля имеет вид эллипса с соотношением полуосей При наличии кривизны поля и астигматизма поверхность меридиональных фокусов отстоит от поверхности Пецваля в три раза дальше, чем поверхность сагиттальных фокусов. Поверхность Пецваля есть предельная, к которой стремятся поверхности по мере исправления астигматизма.

Можно показать, что имеются следующие соотношения, связывающие между собой коэффициенты аберраций тангенциального и сагиттального XIV астигматизма, астигматической разности 2111, кривизны поля и кривизны Пецваля

Оптические системы, в которых исправлены астигматизм и кривизна поля, называются астигматическими.

Рассмотрим систему, содержащую только два зеркала. В ней Из формулы (2.24) получим, что поверхность

Пецваля является плоской, если радиусы кривизны зеркал равны друг другу: Это используется в некоторых модификациях камер Шмидта. Если в системе имеется три неплоских зеркала, то и поверхность Пецваля будет плоской при выполнении условия

Это правило легко обобщить и на большее число зеркал.