§ 5.2. Ахроматический объектив

Перейдем к рассмотрению объективов, содержащих несколько линз. Все рассуждения будут относиться к параксиальной области и к объективу, содержащему бесконечно тонкие соприкасающиеся линзы. Оптическая сила такого объектива есть сумма оптических сил отдельных линз, входящих в него,

В частности, для двухлинзового объектива

Здесь и далее величины, отмеченные одним штрихом, относятся к первой линзе объектива, а двумя — ко второй. В двухлинзовом объективе можно исправить хроматизм параксиальных лучей двух заданных длин волн или лучей, проходящих через некоторую за данную зону

объектива. Для совмещения положения фокусов лучей двух длин волн надо выполнять условие или

Такой объектив называется ахроматическим. Ахроматизировать объектив можно для лучей лежащих приблизительно по краям доступного глазу спектрального интервала или для лучей лежащих по краям области чувствительности несенсибилизированной фотопластинки. Первый случай соответствует визуальной ахроматизации, второй — фотографической. Из (5.2) следует, что в ахроматическом объективе кривизны обеих линз должны удовлетворять условию

Если положить и подставить сюда из (4.66) значения то учтя (4.80), получим

где есть оптические силы положительной и отрицательной линз для средней длины волны, например для луча числа Аббе каждой из линз. Последнее уравнение можно записать в виде

Можно показать, что вообще условие ахроматичности системы, содержащей к компонент, есть к

Решая (5.1) и (5.4) относительно получим

где оптическая сила объектива. Выражения (5.5) называются условием ахроматичности. Важно, что они определяют только силу каждой из линз, но не их форму. Из условия ахроматичности следует, что оптические силы каждой из линз обратно пропорциональны разности дисперсии стекол. Чтобы не были чрезмерными, следует выбирать стекла с сильно различающимися значениями дисперсий Положительная линза

обязательно должна быть изготовлена из стекла с большим значением дисперсии, чем отрицательная линза, т.е. положительная линза должна быть из стекла типа крон, а отрицательная из стекла типа флинт. Подставляя полученные значения в (4.66), получим

Отсюда следует, что для получения ахроматического объектива заданной оптической силы разность кривизн каждой из линз однозначно определяется выбранными сортами стекол. Индексами 1 и 2 мы будем обозначать первую и вторую поверхности каждой из линз; при этом сами кривизны каждой поверхности каждой из линз могут быть любыми; их величины будут влиять лишь на монохроматические аберрации. Надлежащей кривизной линз можно исправить сферическую аберрацию и кому (см. § 5.9 и 5.10). Для исправления сферической аберрации третьего порядка воспользуемся тем обстоятельством, что при выполнении условия ахроматизации (5.5) кривизны каждой из поверхностей линз, а значит, и продольная аберрация каждой из линз, произвольны. В § 4.8 мы показали, что положительная линза обладает всегда отрицательной сферической аберрацией, а отрицательная линза наоборот — всегда положительной аберрацией (исключения представляют мениски). Это позволяет дать такие формы каждой из линз, чтобы их аберрации были равны по абсолютной величине, но имели противоположные знаки. Для определенности предположим, что положительная линза предшествует (считая по ходу лучей) отрицательной. Тогда для положительной линзы ее сферическая аберрация выразится формулой (4.67), которую мы перепишем здесь в виде

Штрихи означают здесь первую (в данном случае положительную) линзу. Аберрацию отрицательной линзы определим в обратном ходе лучей, что будем обозначать стрелкой - над соответствующими величинами. Для этого предположим, что светящаяся точка расположена в главном фокусе объектива (рис. 5.1), повернутого на при этом перед надо поменять знаки на обратные. Так как обе линзы приняты бесконечно тонкими и соприкасающимися, то зоны у у них будут одни и те же. Продольная сферическая аберрация

Рис. 5.1. К определению сферической аберрации отрицательной флинтовой линзы. Объектив рассматривается условно повернутым на 180°, т.е. в обратном ходе лучей

отрицательной линзы для зоны у определится при этом из (4.63), которую мы запишем в виде, аналогичном формулам (4.64) и (5.7):

Здесь два штриха обозначают вторую (в данном случае отрицательную) линзу. Компенсация аберраций наступит при выполнении условия

В соответствии с (4.64) коэффициенты зависят только от показателей преломления выбранных сортов стекол и разностей кривизн положительной и отрицательной линз, определенных условием ахроматизации. Так как пучок света для второй линзы рассматривается идущим с конечного расстояния (из фокуса F объектива), то коэффициенты и зависят кроме того и от оптической силы всего объектива:

где

Если мы задали фокусное расстояние объектива обратную ему величину — оптическую силу разность кривизн положительной линзы и выбрали сорта стекол, т.е. определили показатели преломления обеих линз, то из (5.1) находим разность кривизн а значит, и оптическую силу отрицательной линзы. Подставляя значения (5.5) и (5.6) в (5.10), получим численные знвчения величин Если мы, кроме того, задались величиной , то из (5.7) находим При этом флинтовая линза рассматривается повернутой на поэтому при определении истинного значения аберрации вносимой ею в сходящийся к фокусу пучок лучей, следует заменить величину величиной Условие (5.9) будет выполнено лишь при вполне определенном значении которое получается в результате решения квадратного уравнения

Воспользуемся рисунком 4.21, чтобы показать это более наглядно. Для этого перенесем с него на рис. 5.2 абсолютные величины аберраций положительной и отрицательной линз. По оси абсцисс будем откладывать кривизну первой поверхности первой (кроновой) линзы. Кроме того на отдельных шкалах нанесем соответствующие значения остальных кривизн При этом шкалы совместим. По оси ординат будем откладывать абсолютные значения

Рис. 5.2. Форма линз в тонких двухлинзовых объективах разных типов

величин аберраций каждой из линз. Если квадратное уравнение (5.11) не имеет действительных корней, то следует выбрать другую пару марок стекол. Возможность произвольного выбора значений и равных им значений позволяет осуществить множество типов ахроматических объективов с исправленной сферической аберрацией третьего порядка. Задание продольной сферической аберрации каждой из линз определяет на рис. 5.2 некоторый вполне определенный уровень — например, прямую Ей соответствуют четыре возможные комбинации форм линз ахроматического объектива: или т.е. каждой форме одной линзы отвечают вообще две возможные формы другой линзы. Указанные комбинации схематически изображены на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Четыре варианта ахроматических объективов с кроновой линзой впереди

Уровню соответствуют только две возможные комбинации: или Из четырех типов объективов наиболее выгодная схема так как в ней кривизны линз меньше, чем в любой другой комбинации. С ростом же кривизны линз возрастают сферохроматическая аберрация и аберрации высших порядков. Кроме того, предъявляются более жесткие требования к центрировке линз.

Кривизна первой поверхности может быть выбрана любой, лишь бы соблюдались условия ахроматизации (5.5) и компенсации сферической аберрации (5.9). Эта свобода может быть использована для удовлетворения других требований, например конструктивных или, чаще, оптических.

Условия (5.7) и (5.8) выражают аберрации кроновой и флинтовой линзы через радиусы кривизн наружных поверхностей объектива Можно задаться условием, чтобы вторая поверхность кроновой линзы имела кривизну, равную кривизне поверхности флинтовой линзы, т.е. чтобы было удовлетворено условие равенства кривизн внутренних поверхностей объектива:

Выполнение этого требования позволяет склеить обе линзы в один блок. Для удовлетворения условий (5.12) удобно выразить кроновой линзы и флинтовой линзы соответственно черезр и Для такого перехода воспользуемся формулой (4.61), из которой следует,

что После несложных преобразований получим

где

Черточки над коэффициентами обозначают, что эти величины относятся к склеенному объективу. Условие (5.12) при исправлении сферической аберрации эквивалентно выполнению равенства

которое может быть справедливым лищь если дикриминант этого квадратного уравнения неотрицателен.

При имеются два решения квадратного уравнения (5.14), которые соответствуют склеенным объективам, называемым объективами Клеро типов

Широкое распространение получили объективы А. Кларка. В них кроновая и флинтовая линзы разделены значительным воздушным промежутком, составляющим, как, правило около Промежуток введен исключительно только для удобства чистки внутренних поверхностей линз. Наличие такого воздушного промежутка неизбежно приводит к появлению хроматизма увеличения (см. рис. 2.12) и дисторсии. Тем не менее все крупнейшие рефракторы мира снабжены объективами Кларка. Рис. 2.12 делает ясным тот механизм, который приводит к хроматизму увеличения. По выходе из кроновой линзы синий луч отклоняется значительно сильне, чем красный луч С. В результате лучи встречают флинтовую линзу ближе к оптической оси, чем красные лучи С. Так как поперечная сферическая аберрация пропорциональна кубу зоны у, то переисправление сферической аберрации для фиолетовых лучей несколько уменьшилось. Поэтому объективы Кларка дают несколько менее заметный фиолетовый ореол вокруг звезд.

Коэффициент отражения при нормальном или близком к нормальному падению лучей на непросветленную поверхность, разделяющую среды с показателями преломления составляет

В несклеенном объективе любого типа третья поверхность его отражает около 1/18 падающей энергии, давая пучку дополнительную сходимость, равную единицах оптической силы всего объектива). Вторая поверхность объектива отразит 1/23 долю этого пучка в направлении к фокусу телескопа и уменьшит сходимость пучка на Так как расстояние между линзами ничтожно, то дважды отраженный пучок образует свой фокус на расстоянии от главного фокуса. Если разность кривизн мала, как это обычно бывает в объективах, близких к типу Клеро, то каждая яркая звезда даст на фотопластинке заметный весьма вредный блик. В результате изображение каждой яркой звезды сопровождается слабым спутником, который будет слабее самой звезды на 6,6 звездной величины. Взаимное склеивание линз в объективе уменьшает потери света на отражениях от их поверхностей. Принимая показатели преломления крона 1,52, флинта 1,62, а воздуха 1,0, находим, что в несклеенном объективе, в котором линзы разделены даже тонким воздушным промежутком, суммарные потери на отражение составляют Склеивание линз снижает их до 9,7 %. Кроме того, уменьшаются вредные блики и слабый рассеянный фон неба по полю. Склейка фактически исключает влияние погрешностей формы склеиваемой поверхности кроновой линзы и на 1/7 уменьшает влияние таковых на склеиваемой поверхности флинтовой линзы, а также влияние царапин на них и обеспечивает неизменность центрировки линз. Склеенные объективы используются только в небольших рефракторах и астрометрических интрументах, в которых недопустимо смещение линз.