§ 2.8. Коэффициенты аберраций третьего порядка. Зависимость аберраций от положения входного зрачка

Зейдель предложил сравнительно простые формулы для вычисления коэффициентов аберраций. Но эти формулы выражают их не непосредственно через конструктивные параметры оптической системы, а в виде функций от вспомогательных величин, которые сами

Рис. 2.13. К вычислению коэффициентов Зейделя. I — первый вспомогательный луч; II — второй вспомогательный луч, 1 — плоскость предмета (или его параксиальное изображение, построенное предшествующей частью системы); 2 — плоскость входного зрачка (или ее изображение); 3 — преломляющая поверхность; 2 — плоскость выходного зрачка; 1 — плоскость изображений

зависят от конструктивных параметров. Эти вспомогательные величины определяются при расчете двух вспомогательных параксиальных лучей (рис. 2.13). Расчет их выполняется по формулам, приведенным в § 3.2. Первый вспомогательный луч I выходит из точки на оси, лежащей в плоскости предметов (для телескопа — в бесконечности) второй из точки на оси, лежащей в плоскости входного зрачка. Вспомогательными величинами являются высоты пересечения этими лучами оптических поверхностей и углы между оптической осью и каждым из этих лучей или расстояния от поверхности до точек пересечения этими лучами оптической оси. Приводимые ниже выражения для коэффициентов аберраций основаны на теореме: каждый коэффициент аберрации третьего порядка сложной оптической системы равен сумме соответствующих коэффициентов для отдельных ее поверхностей. Мы дадим выражения для коэффициентов сферической аберрации комы 211, астигматической разности кривизны Пецваля и дисторсии без вывода:

где суммирование ведется по всем к поверхностям, входящим в систему. Слагаемые

включают коэффициенты асферичности поверхностей о (см. § 1.4). Для краткости записи здесь введены символы Аббе:

есть инварианты Аббе:

Для предмета в бесконечности ели входной зрачок совмещен с вершинои первой поверхности, то

Обозначим индексом «ноль» значения коэффициентов аберраций для случая, когда входной зрачок совмещен с вершиной первой преломляющей (или отражающей) неплоской оптической поверхности Если в этой же системе сместить входной зрачок в положение то коэффициенты аберраций будут (с индексом

Из формул (2.37) вытекает важное следствие: если в системе исправлены первые аберраций третьего порядка, то положение входного зрачка не влияет на аберрацию. Если сферическая аберрация, кома и астигматизм исправлены, то все лучи, от одной точки поля, соберутся в одну точку, построив идеальное изображение. В этом случае безразлично, какой из лучей считать главным. Поэтому, передвигая входной зрачок, мы выбираем каждый раз новый луч в качестве главного, но он всегда будет попадать в ту же точку фокальной плоскости, куда пришли и остальные лучи. Поэтому как геометрическая, так и астрономическая дисторсия не изменятся.

Расмотрим бесконечно тонкий объектив, когда предмет лежит в бесконечности, а плоскость входного зрачка совмещена с плоскостью самого объектива. Для этого случая принято обозначать первые два коэффициента Зейделя буквами а коэффициент Пецваля — символом Тогда, обозначая коэффициент продольного хроматизма символом С, имеем

средняя дисперсия. Из этих формул вытекают важные следствия, которые используются в ходе расчета тонких оптических систем:

1. Для исправления сферической аберрации бесконечно тонкой системы со сферическими поверхностями (для которой все значения А. можно принять равными) достаточно добиться равенства

2. Если в тонкой системе исправлена сферическая аберрация, то для исправления комы достаточно добиться равенства

3. Если в тонкой системе исправлены сферическая аберрация и кома, то для исправления астигматизма достаточно добиться равенства

4. Если система содержит асферические поверхности, то вместо суммы следует приравнивать нулю сумму где коэффициент асферичности.

5. Если входной зрачок совмещен с оптической поверхностью бесконечно тонкой системы, то ее деформация не влияет на кому, астигматизм, кривизну поля и дисторсию. Это следует из того, что в этом случае для второго вспомогательного луча . Первые члены,

входящие в формулы (2.36), при этом в ноль не обращаются, так как при раскрытии выражений (2.36) путем подстановки в них значений величина равная нулю в числителе и в знаменателе, сокращается.