§ 4.5. Внеосевые аберрации зеркальной поверхности вращения второго порядка. Кома и астигматизм

Если поверхность второго порядка задана радиусом кривизны при ее вершине и квадратом эксцентриситета а входной зрачок лежит в плоскости, касательной к поверхности в ее вершине, и лучи идут из бесконечности то формулы (2.7) принимают вид

где по-прежнему и — апертурные углы (см. рис. 2.3), угол поля зрения.

В частности для сферического зеркала

Для параболического зеркала

В рамках теории аберраций третьего порядка:

1. Параболическое зеркало свободно от сферической аберрации. Это справедливо для аберраций всех порядков.

2. Кома и астигматизм третьего порядка всех зеркальных поверхностей второго порядка одинаковы при условии, что у всех этих зеркал плоскость входного зрачка касается вершины поверхности.

3. Дисторсия третьего порядка отсутствует у всех поверхностей второго порядка, если плоскость входного зрачка совпадает с вершиной зеркала.

4. В § 4.8 мы покажем, что у сферического зеркала сферическая аберрация приблизительно в 8 раз меньше, чем у одиночной простой тонкой линзы со сферическими поверхностями с тем же фокусным расстоянием.

5. В меридиональном сечении астигматизм равен в сагиттальном он полностью отсутствует. У зеркал второго порядка меридиональная фокальная поверхность имеет кривизну а сагиттальная является плоскостью (см. рис. 2.7 и 2.8, д).

Из формул (4.37) и (4.37) следует, что коэффициенты, входящие в выражения аберраций, приведенные в табл. 2.1, имеют вид

Для сферического зеркала для параболического Остальные аберрации от не зависят.

Появление комы обусловлено различием фокусных расстояний разных зон у зеркала. Из рис. 4.6 видно, что

Используя уравнение параболы (4.34), соотношение (4.35) и пренебрегая членами, содержащими у в степенях выше второй, получим

Рис. 4.6, К выводу формулы (4.39)

Это соотношение справедливо для любой поверхности второго порядка. Параксиальное фокусное расстояние параболического зеркала, определяемое по формуле (4.26), есть а фокусное расстояние зоны у будет

Из формулы (4.39) вытекает следствие, что из всех поверхностей второго порядка с входным зрачком на поверхности зеркала, свободен от разности зональных увеличений только сплюснутый сфероид с Но он негоден в качестве одиночного зеркала для простой системы телескопа, так как он имеет сферическую аберрацию. Если выходной зрачок совпадает с последней поверхностью (в данном случае с поверхностью зеркала), то Подставляя в формулу (2.18) Штебле-Лиготского значения из формулы (4.39) и Аяиз (4.35), получим

Отсюда следует важный вывод, что если входной зрачок совпадает с поверхностью зеркала то все поверхности второго порядка не изопланатичны в одинаковой мере. Разница лишь в том, что в одних доминирует влияние сферической аберрации в других — комы Так, два

члена, входящие в (2.18), равны

для сплюснутого сфероида

Кома параболического зеркала положительна, т.е. хвост ее направлен в радиальном направлении от оптической оси. Полная длина пятна комы составляет (см. § 2.4), причем

В угловой мере длина пятна комы составляет

Величина имеет ту же размерность, что и (например, секунды дуги). В табл. 4.1 приведены значения для различных

Кома сильно ограничивает фотографическое поле телескопа. Это особенно заметно при светосильном параболическом зеркале.

Таблица 4.1 (см. скан) Угловая мера длины пятна комы для параболического зеркала (в секундах дуги)

Для оценки влияния комы на визуальные наблюдения удобно измерять ее в долях радиуса дифракционного изображения, т.е. выражать ее величиной

где длина волны света, выраженная в тех же единицах, что и диаметр телескопа. При

где выражено в радианах, есть разрешаемый по Рэлею угол между парой звезд одинакового блеска, обусловленный явлением дифракции света:

При (секунд дуги); выражено в

Если то аберрационное изображение звезды практически неотличимо от идеального. Принимая это значение комы за предельно допустимое при выполнении визуальных наблюдений получим для телескопа диаметром с относительным отверстием А следующее предельное значение поля секундах

В табл. 4.2 даны значения угла и» (половина полного поля зрения), при котором в параболическом зеркале диаметром с относительным отверстием А кома не искажает заметным образом визуальное изображение звезды.

Таблица 4.2 (см. скан) Предельное значение поля параболического зеркала диаметром при котором кома заметно не портит визуальное изображение звезды

Рассмотрим астигматизм параболического зеркала. Методами аналитической геометрии можно показать, что геометрическое место фокусов сагиттальных пучков параболического зеркала совпадает с гауссовой плоскостью (рис. 2.8,3), а геометрическое место фокусов меридиональных пучков лежит на кривой поверхности обращенной своей вогнутостью к вершине параболоида и имеющей радиус кривизны

где радиус кривизны параболоида в его вершине. Это приводит к тому, что в гауссовой плоскости изображение точки растягивается в радиально ориентированную линию, длина и ширина которой соответственно составляют

где в радианах.

Угловая величина астигматической фокали, выраженная в радианах, равна

(здесь поле выражено также в радианах).

В табл. 4.3 даны значения для разных полей параболических зеркал разных относительных отверстий А. Астигматическая разность параболического зеркала

Таблица 4.3 (см. скан) Угловая величина астигматической фокали параболического зеркала в плоскости параксиального фокуса (в секундах дуги)

Зависимость (4.45) показана на рис. 4.7 сплошными линиями. Наклонными прерывистыми линиями показана угловая длина пятна комы параболического зеркала для относительных отверстий

Рис. 4.7. Угловая величина астигматизма параболического зеркала в плоскости Гаусса (сплошные линии), комы (наклонные прерывистые линии) и поперечная сферическая аберрация сферического зеркала (горизонтальные штриховые линии)

Для полноты картины там же горизонтальными линиями нанесена угловая сферическая аберрация сферического зеркала для плоскости наилучшей фокусировки. Таким образом данные, приведенные на рис. 4.7, не относятся к общей плоскости фокусировки. Видно, что лишь в светосильных системах и при очень больших полях зрения влияние астигматизма превалирует над влиянием комы. Но во всех этих случаях изображение уже никуда не годится (превышает ). Если бы мы осуществили фокусировку не на плоскость Гаусса, а на криволинейную поверхность, лежащую посередине между меридиональной и сагиттальной фокалями, имеющую радиус кривизны

радиус кривизны параболоида), то влияние астигматизма уменьшилось бы ровно в два раза. При этом астигматическое изображение будет приблизительно круглое и иметь угловой поперечник, выраженный в

где выражено в радианах,

Рассмотрим влияние астигматизма при выполнении визуальных наблюдений. Волновая аберрация при этом не должна превышать Подставив в (2.19) из (4.46) астигматическую разность параболического зеркала, получим выражение для предельного поля, свободного от земетного влияния астигматизма,

где выражены в в радианах. При

В § 2.4 и 2.5 было показано, что в то время как длина хвоста комы пропорциональна удалению точки от оптической оси, пятно астигматизма растет пропорционально квадрату этого расстояния. Поэтому, если в центральной части поля преобладает кома, то на его периферии доминирующее значен приобретает астигматизм. При всех реальных значениях относительных отверстий А и любых значениях его диаметра не астигматизм, а кома ограничивает полезное поле зрения визуального параболического рефлектора. Влияние комы (4.41) и астигматизма (4.45) уравниваются при т.е. при

Поле зрения при котором влияние астигматизма и комы уравновешиваются, приведено на рис. 4.8.

На рис. 4.9 показаны типичные фигуры рассеяния параболического зеркала при наличии как комы так и астигматизма. Лучи равномерно распределены по отдельным кольцевым зонам на зрачке и

Рис. 4.8. Поле зрения при котором влияние астигматизма и комы параболического зеркала одинаковые. Вдоль границы, разделяющей области преобладания комы и астигматизма, указаны поперечники пятна в секундах дуги

укладываются в плоскости Гаусса по характерным кривым, напоминающим трилистник.

Перейдем к рассмотрению влияния комы и астигматизма на объективные (фотографические или фотоэлектрические) наблюдения. При этом важно, чтобы пятно, вызванное суммарным влиянием комы и астигматизма, не превышало размер элемента (зерно фотоэмульсии, пиксел ПЗС матрицы). Суммарный линейный поперечник изображения, обусловленный комой и астигматизмом и выраженный в будет

где выражено в радианах. Принимая в качестве предельно допустимого значения поперечник пятна получим значение максимального приемлемого угла поля зрения

Здесь диаметр выражен в

Рис. 4.9. Фигура рассеяния лучей от трех кольцевых зон параболического зеркала

Угловой поперечник изображения не должен превышать размер турбулентного диска, вызванного волнениями земной атмосферы.