§ 1.4. О форме поверхностей, используемых в астрономической оптике

В астрономических инструментах широко используются поверхности вращения второго порядка, образованные вращением вокруг своей оси кривой второго порядка (рис. 1.10). В зависимости от вида этой кривой образуются сфера, несимметричные эллипсоид, сплюснутый сфероид (при вращении эллипса вокруг малой оси), параболоид или гиперболоид (при вращений одной ветви гиперболы вокруг

ее оси симметрии). Так как в астрономии используются практически только поверхности вращения, то в дальнейшем поясняющее слово «вращения» мы будем опускать. В соответствии с формой образующей кривой, каждая из поверхностей характеризуется значением эксцентриситета В оптике обычно используется не само значение эксцентриситета, а его квадрат Для сферы для эллипсоида для параболоида для гиперболоида для сплюснутого сфероида

Рис. 1.10. Произвольная осесимметричная оптическая поверхность

Уравнение меридионального сечения поверхности второго порядка с осью симметрии, совпадающей с осью и с вершиной в начале координат может быть записано в виде

где радиус кривизны поверхности в ее вершине.

Это уравнение позволяет вычислить стрелку зеркала для любой зоны у. Однако при близком к единице, точность вычислений сильно падает. Чтобы этого избежать, вынесем из-под корня величину и разложим подкоренное выражение в ряд. Тогда получим

Первый член формулы (1.22) соответствует параболоиду

остальные члены выражают отступление реальной поверхности второго порядка от параболоида. Следует иметь ввиду, что приводимые ниже в § 3.5 формулы Федера для расчета хода луча через систему, содержащую асферическую поверхность, не предусматривают эту возможность; асферика в них может рассматриваться только как отступление от плоскости или от сферы, но не от какой-либо асферической поверхности. Таким образом, если необходимо ретушировать параболоид, то уравнение ретушированной поверхности следует задавать или относительно ближайшей сферы (см. § 1.6) или относительно плоскости.

Если поверхность является сферической, то и

Общее уравнение произвольной поверхности вращения с осью симметрии, совпадающей с оптической осью (рис. 1.10), и с радиусом кривизны при вершине, равным будет

где

Если нам достаточно рассматривать только меридиональное сечение, то можем написать

Коэффициенты а. произвольной системы можно записать в виде

Тогда уравнение (1.25) для произвольной поверхности примет вид

Сравнивая коэффициенты в (1.27) с числителем коэффициента при в (1.22), мы видим, что в случае асферической поверхности второго порядка

Последующие члены легко получаются из бинома Ньютона. Константа является в первом приближении мерой отклонения реальной формы поверхности от асферической. Ее впервые ввел К. Шварцшильд (Schwarzchild К. [1905]), и она называется коэффициентом деформации или коэффициентом асферичности Шварцшильда. Константы можно назвать коэффициентами деформации высших порядков или коэффициентами асферичности высших порядков. Некоторые зарубежные авторы называют коэффициентом

деформации величину Однако из сказанного видно, что это лишено какого-либо физического обоснования.

Асферическая поверхность может рассматриваться как «сфера ретушь». Сфера обеспечивает такую сходимость (или расходимость) пучка лучей, которая необходима для построения изображения в требуемом месте или с требуемым увеличением. Ретушь, описываемая членами высших порядков, компенсирует соответствующие аберрации.

В таблице 1.1 мы приводим сопоставление квадратов эксцентриситетов и коэффициентов деформации с формами поверхностей.

Геометрический смысл коэффициента деформации состоит в том, что член с точностью до есть разность стрелок меридиональных сечений асферической и сферической поверхностей (см. формулу (1.43)).

Таблица 1.1 (см. скан) Квадрат эксцентриситета и коэффициент деформации разных поверхностей второго порядка

Можно задавать осесимметричную асферическую поверхность в виде полинома

Если поверхность имеет второй порядок, то все и

В этом случае коэффициент характеризует форму поверхности; при мы получаем гиперболу, при параболу, при эллипс, при сферу и при сплюснутый сфероид.

В некоторых случаях в литературе можно встретить описание поверхности в форме

В этом случае первый член описывает сферу радиуса остальные — отступление реальной поверхности от сферической.

Если поверхность не сильно отличается от поверхности второго порядка, то ряд (1.29) быстро сходится. Однако в отличие от разложения (1.27) разложение (1.29) не является универсальным — оно непригодно, если сечение поверхности имеет экстремальные точки, как наример, у коррекционной пластинки Шмидта (см. § 9.2).

Если меридиональное сечение поверхности, записанной разложением (1.22), представить в виде (1.25), то между коэффициентами этого полинома (1.29) имеются соответствия, получаемые методом обращения рядов:

Обратные соотношения (здесь кружок над буквой опущен) имеют вид

Представление асферики в виде ряда (1.25), где величины у имеют линейную размерность, приводит к очень большим значениям множителей и очень малым значениям коэффициентов

что неудобно. Поэтому целесообразно выражать координату у в безразмерных единицах — в долях полупоперечника асферической поверхности. Тогда разложение (1.25) преобразуется к виду

Хотя ряд (1.32) сходится, как правило, медленнее, чем ряд (1.29), и для достижения заданной точности требуется большее число членов, тем не менее ввиду неуниверсальности разложения (1.29) мы будем в дальнейшем пользоваться исключительно только разложениями (1.32) или (1.27).

Легко установить соответствие между коэффициентами в представлениях асферических поверхностей в форме рядов (1.27) и (1.32)

в форме рядов (1.30) и (1.32) 2

в форме рядов (1.25) и (1.32)

Применяя обращение рядов, получаем соответствия между компонентами рядов (1.29) и (1.32) (кружок над также опущен):

Обратные соотношения имеют вид

Следует иметь в виду, что переход от представления (1.22) или (1.32) к представлению (1.29) возможен только в случае, если поверхность в пределах ее действующего поперечника лишена экстремальных точек. В частности, для планоидных зеркал или поверхностей типа пластинки Шмидта такой переход невозможен, такие поверхности можно описывать только в форме (1.22) или (1.32).

М.А. Майоров [1989 ] предложил определять коэффициенты перехода, используя координаты конкретных точек поверхности и применяя метод наименыцих квадратов. В ряде случаев этот способ дает лучшую точность, чем непосредственное обращение рядов.

Вычисление стрелки х асферической поверхности второго порядка можно выполнить на микрокалькуляторах типа по приводимой ниже программе, используя схему Горнера:

где k — задаваемое число циклов. Предварительные засылки: Результата -

Программа 1.1

Расчет стрелки асферической поверхности

(см. скан)

Приме Время счета при составляет около 28 секунд. Если необходимо счет повторить, то значение величины к следует внести вновь.