§ 3.10. Методы автоматической оптимизации оптических систем

Расчеты с использованием методов исправления аберраций третьего порядка бесконечно тонких компонентов дают лишь приближенное исправление аберраций. Реальная система, как правило, всегда требует дополнительного исправления, во-первых, потому, что имеются аберрации высших порядков, и, во-вторых, потому, что реальные значения толщин линз меняют характеристики системы.

Расчет по формулам Федера позволяет определить свойства и оценить качества рассматриваемой системы. Как правило, исходная система не удовлетворяет всем поставленным требованиям, и ее необходимо улучшить или, как говорят оптики, оптимизировать. Для этого используется ряд методов. Мы опишем лишь принципы этих методов. Практические рецепты читатель может найти в монографии С.А. Родионова [1982].

Известно несколько различных методов оптимизации оптических систем, которые можно разделить на три группы:

1. Исправление отдельных аберраций.

2. Исправление суммы квадратов аберраций или суммы квадратов произведений отдельных аберраций на приписаные им веса.

3. Исправление качества изображения независимо от того, какими причинами оно испорчено или какими отягощено аберрациями. Рассмотрим их в общих чертах в отдельности.

Исправление отдельных оберраций выполняется в следующей последовательности: вычисляются поперечные, угловые или волновые аберрации а. исходной системы; последовательно меняются те радиусы кривизны, квадраты эксцентриситетов, расстояния между поверхностями и другие параметры, изменяя которые предполагается улучшить систему; это позволяет вычислить частные производные каждой из исправляемых аберраций а. по конструктивным параметрам с. системы. Выбор соответствующих конструктивных параметров зависит от степени влияния каждого из них на соответствующие аберрации. Знания, опыт и интуиция оптика должны подсказать правильный выбор параметров. Меняя их, определяют изменение аберраций. В результате получается матрица частных производных

Если влияние параметров на аберрации заранее не известно, то эта матрица дает полную информацию об этом. Матрице (3.53) соответствует система линейных уравнений

где число исправляемых аберраций, число используемых конструктивных параметров системы. Если то имеем линейную систему уравнений с неизвестными, которая решается обычными методами (например, последовательными исключениями неизвестных). Если же мы имеем избыточную систему условных уравнений, которую следует решать по методу наименьших квадратов. При этом каждой из аберраций можно придать соответствующий вес. Решение системы уравнений (3.54) дает значение поправок . конструктивных параметров. Тогда новое значение приводит к уменьшению аберраций. Однако ввиду сложности и нелинейности реальных зависимостей (которые мы аппроксимировали линейными уравнениями необходимо использовать несколько приближений. Кроме того, для того, чтобы процесс был сходящимся, приходится вводить так называемые демпфирующие множители, замедляющие ход решения. Пусть, например, реальная зависимость аберрации а от конструктивного параметра с имеет вид, представленный на рис. 3.17. Пусть исходное значение изменяемого конструктивного параметра имеет значение ему соответствует аберрация и частная производная, равная В результате, если не

Рис. 3.17. Пояснение процесса последовательных приближений при нелинейной зависимости

использовать демпфирование, то мы находим необходимое приращение которое приводит к новому значению конструктивного параметра и аберрации а. Если между значениями и с имелся минимум функции то может оказаться, что Дальнейший процесс будет неустойчивым. Более того, чем ближе к оптимальному значению с, отвечающему минимуму функции тем меньше будет абсолютная величина частной производной и тем больше будет значение Наступает «раскачка», процесс перестает сходиться. Вообще же процесс следует продолжать до тех пор, пока значения исправляемых аберраций не станут меньше заданных допусков. Абсолютное исправление аберраций бессмысленно.

Такой принцип коррекции системы имеет следующие преимущества:

1) он позволяет минимизировать как аберрации, так и отклонение аберраций от заранее заданного значения. Это существенно в тех случаях, когда расчету подлежит лишь часть системы, например перекидывающий объектив, переносящий изображение, построенное предшествующей частью системы, в другую плоскость, окуляр и т.п. В этом случае аберрации уже существующей предшествующей части системы должны быть компенсированы аберрациями последующей части.

2) метод применим в тех случаях, когда необходимо исправить некоторые вполне определенные аберрации — например, кому или хроматизм. Однако всегда следует учитывать влияние разных конструктивных параметров на исправляемую аберрацию и вообще принципиальную возможность исправления данной аберрации в объективе рассматриваемого типа.

Исправление качества изображения. Минимизируется та или иная оценочная функция, характеризующая качество

изображения. Такой функцией может быть полный размер кружка изображения, или, лучше, среднее квадратическое рассеяние света в аберрационных кружках по всему полю (действительно, если из 500 точек точечной диаграммы 450 уложатся компактно в кружок размером, скажем а 50 создадут ореол поперечником то всякий предпочтет такое изображение изображению, в котором все 500 точек равномерно распределены по площадке диаметром Выбранная оценочная функция зависит от всех конструктивных параметров системы и включает все точки поля. В зависимости от назначения телескопа может требоваться хорошее изображение по всему полю или только в центре, а к краю допустимо его ухудшение. Поэтому разным полевым углам можно приписать разные веса Тогда оценочной функцией будет средневзвешенное по полю рассеяние точек в точечной диаграмме,

где конструктивные элементы оптической системы, предназначенные для минимизации оценочной функции — сумма расстояний каждой точки от средней (см. рис. 2.10), число точек в точечной диаграмме, число полевых углов, которые принимаются во внимание. В качестве средней ординаты целесообразно брать «центр тяжести» полихроматического изображения, т. е.

где суммирование идет по всем рассматриваемым длинам волн.

Исправление суммы квадратов поперечных аберраций. Оптимизируется одна оценочная функция где — значение угловой, волновой или, чаще, поперечной аберрации, веса аберраций. Этот метод позволяет корректировать не только качество изображения, но и уклонение последнего отрезка от заданного значения и такую аберрацию, как дисторсия.

Поиск минимума оценочной функции может выполняться разными методами нелинейного программирования. Обычно характер -мерного рельефа» имеет вид слабо изогнутой «лощины», но могут

иметь место и отдельные «ямы». В последнем случае, если исходная точка взята на склоне одной из «ям», то процесс (если начальный шаг взят достаточно малым) приведет к ее «дну». При этом соседние «ямы» могут оказаться более «глубокими». Таким образом, процесс не гарантирует нахождение абсолютного минимума оценочной функции, а лишь определение локального минимума.

Рассмотрим принципы некоторых методов нелинейного программирования.

Рис. 3.18. Зигзагообразная траектория при использовании метода наискорейшего спуска в случае оценочной функции, зависящей от двух переменных. Замкнутые кривые — изолинии оценочной функции, точка ее минимума. Штриховые линии — «направляющие» прямые, в — точка их пересечения

Метод наискорейшего спуск а. В исходной точке и на каждом шаге (в некоторых модификациях через каждые несколько шагов) определяется вектор градиента и выполняется шаг в антиградиентном направлении. Несмотря на свое «завлекающее» название метод не является наилучшим, так как процесс идет «зигзагообразно»: по траектории (рис. 3.18), каждый раз в направлении нормали к изолинии оценочной функции.

Метод сопряженных градиентов. Если проанализировать «зигзагообразную» траекторию метода наискорейшего спуска, то можно убедиться в том, что концы всех его шагов лежат на нескольких прямых. Сделав несколько шагов методом наискорейшего спуска, мы определяем пару таких «направляющих прямых» (на рис. 3.18 они штриховые). Минимум оценочной функции лежит на их пересечении. Последнее справедливо лишь с некоторым приближением, так как все завсимости крайне нелинейны.

Метод Ньютона. На каждом шаге каждая нелинейная оптимизируемая функция заменяется линейной путем разложения функции 9 в ряд Тейлора:

Если число оптимизируемых функций (например, аберраций) и число оптимизирующих параметров к равны друг другу, то мы получаем нормальную систему уравнений, решение которой определяет направление траектории спуска. Если число оптимизируемых функций превышает количество используемых параметров к, то система (3.57) является избыточной и решать ее надо методом наименьших

квадратов. Если то используется метод неопределенных множителей Лагранжа, заключающийся в наложении дополнительных условий:

где есть добавочные условия связи параметров с между собой (например, те или иные конструктивные требования). Определенный таким методом минимум называется условным.

Мы уже упоминали, что все эти методы обеспечивают определение лишь локального минимума. В некоторой степени от этого свободен метод случайного поиска. Он состоит в том, что в заданной области параметров методом случайных чисел перебирается ряд точек, и сгущение их производится до тех пор, пока не убеждаемся, что найдены все области локальных минимумов. Тогда уточнение абсолютного минимума выполняется одним из описанных выше способов.

Более подробно с методами автоматической оптимизации читатель может ознакомиться в монографиях В.Б. Леоновой [1970] и С.А. Родионова [1982].