§ 3.8. «Диаграмма пластинок» Бёрча

По-видимому, идея камеры Шмидта (см.§ 9.1) натолкнула X. Бёрча (Burch C.R. [1942]) на мысль о том, что в рамках теории аберраций третьего порядка любое зеркало может рассматриваться как сферическое с наложенной на него воображаемой коррекционной пластинкой. Пластинка вносит на зоне у такую задержку в отражаемый сферическим зеркалом волновой фронт, что он оказывается тождественным волновому фронту, отраженному реальным зеркалом. Эта задержка может быть положительной (равносильной яме на зеркале) или отрицательной. Следуя Г.Аллену (Allen G.W. [1975]) будем называть такую пластинку surf-lam. На рис. 3.13, а и б показана эквивалентность асферического зеркала сферическому с наложенной на него пластинкой surf-lam.

Система Шмидта с коррекционной пластинкой в центре кривизны сферического зеркала эквивалентна воображаемому идеальному зеркалу, свободному от сферической аберрации, комы и астигматизма третьего порядка (рис. 3.13, б). Будем называть такое зеркало стигматичным, а пластинку, находящуюся в центре кривизны зеркала, cent-lam как это ввел Аллен. Сферическое зеркало можно рассматривать как совокупность воображаемого идеального стигматичного

Рис. 3.13. (см. скан) Эквивалентность произвольного зеркала сферическому с наложенной на него пластинкой surf-lam (а и б), система Шмидта — идеальному (стигматичному) зеркалу (б), сферического зеркала — стигматичному с отрицательной и произвольного зеркала — стигматичному с пластинками surf-lam и

зеркала и помещенной в его центре кривизны отрицательной пластинки cent-lam (рис. 3.13,г). Будем обозначать пластинки surf-lam индексом 5, а пластинки cent-lam - индексом С.

Отсюда следует, что любое реальное зеркало можно рассматривать как воображаемое

стигматичное + соответствующая surf-lam + отрицательная cent-lam (рис. 3.13,5).

Определим необходимые оптические силы пластинок Бёрча. Меридиональное сечение произвольной асферической поверхности второго порядка может быть описано разложением (1.22). Рассматривая аберрации третьего порядка, достаточно ограничиться первыми двумя членами его,

где радиус кривизны зеркала при его вершине, квадрат эксцентриситета его меридионального сечения. Для сферической поверхности стрелка ее

Отклонение произвольной поверхности вращения второго порядка от сферы выразится разностью этих выражений:

При отражении уклонение волнового фронта удваивается:

Такую задержку должна обеспечить surf-lam, наложенная на сферическое зеркало для того, чтобы сделать его эквивалентным рассматриваемому асферическому зеркалу. Условимся силами пластинок (в отличие от понятия оптическая сила, введенного в § 1.3) называть их оптические силы на зоне и обозначать их через К и

Тогда сила пластинки surf-lam

и действие ее пропорционально четвертой степени зоны у.

Найдем силу пластинки cent-lam. Действие пластинок cent-lam и surf-lam должно полностью взаимно компенсироваться, если зеркало, к которому они относятся, само по себе идеально. Таким зеркалом является эллиптическое для сопряженных точек, совпадающих с его фокусами. Пластинка cent-lam должна вызывать задержку

где зона у измеряется на поверхности зеркала (рис. 3.14). В плоскости пластинки cent-lam зона у будет

Рис. 3.14. К выводу формулы (3.36)

поэтому

где последний отрезок. Если предмет находится в бесконечности, то совпадает с фокусным расстоянием зеркала.

Для эллипсоида следовательно

и сила пластинки cent-lam будет

Эта формула справедлива не только для эллиптического зеркала, но и для любого другого зеркала второго порядка.

Таким образом, можно сказать, что каждое зеркало второго порядка можно рассматривать как стигматичное + surf-lam силой отрицательная cent-lam силой Для первого зеркала рефлектора объект лежит в бесконечности, и сила его пластинки cent-lam будет

Мы всегда считаем, что луч в оптическую систему входит слева. Поэтому на каждое нечетное зеркало многозеркального телескопа он падает слева, на каждое четное — справа. Обобщая формулы (3.34) и (3.36) на случай зеркала системы (вогнутого или выпуклого), получим (Михельсон Н.Н. [1979а ])

Для дальнейшего необходимо суметь перенести каждую из пластинок в пространство предметов рассматриваемой оптической системы телескопа. Любая пластинка, находящаяся в пространстве изображений (или в одном из промежуточных пространств), может быть заменена своим параксиальным изображением в пространстве объектов. При этом кривизна пластинки может не приниматься во внимание. При такой замене необходимо учитывать, что диаметр пластинки стало быть, и зона сохраняется, в то время как изображение переносится с увеличением Так как в формулы (3.33) и (3.34) зона у входит в четвертой степени, то при переносе пластинки из одного пространства в другое сила ее должна изменяться пропорционально

Для первого зеркала рефлектора обе его пластинки лежат в пространстве объектов, и их силы

Для у-й поверхности сложной системы сила ее пластинок, перенесенных в пространство объектов, будет

где положение пластинки cent-lam в пространстве предшествующем зеркалу, в пространстве, следующем за ним (рис. 3.15); - соответственно то же для пластинки surf-lam. Звездочки обозначают, что силы соответствующих оптических пластинок относятся к их изображениям в пространстве объектов.

Рис. 3.15. Перенос изображения пластинки из пространства в пространство

В сложной оптической системе можно суммировать влияние отдельных пластинок, если по правилам параксиальной оптики построить их изображения в пространстве объектов. Для этого необходимо знать конструктивные элементы системы в области оптики Гаусса, т.е. радиусы кривизны поверхностей, расстояния между

вершинами и показатели преломления сред. Может случиться, что та или иная пластинка, перенесенная в пространство предметов, окажется за системой и физически лучи света пройти через нее не смогут. Это несущественно, так как пластинки являются математической фикцией. Но в любом случае они воздействуют на волну и оказывают влияние на аберрации третьего порядка, даже в случае, если свет не может их достичь.

Расположим вдоль оптической оси все изображения пластинок, перенесенные в пространство объектов (на рис. 3.16 приведен пример для двухзеркальной системы). Припишем им номер соответствующей поверхности и укажем их силы. Положение изображений пластинок будем отсчитывать от входного зрачка системы. Расстояние его от первой поверхности системы обозначим через Построенный таким образом график получил название «диаграммы Бёрча» или «диаграммы пластинок». Условно рассмотрим эти пластинки как массы, расположенные на рычаге с точкой опоры во входном зрачке.

Рис. 3.16. «Диаграмма пластинок» Бёрча для двухзеркальной системы. Звездочки обозначают изображение пластинок второго зеркала в пространстве предметов

При этом будем считать, что масса пластинки пропорциональна ее силе. В соответствии со знаком силы пластинок следует считать, что массы могут быть положительными (на рис. 3.16 они обозначены стрелками, направленными вниз) и отрицательными (на рис. 3.16 они обозначены стрелками, направленными вверх). Тогда, как показал Х.Бёрч (Burch C.R. [1942]):

1) Угловая сферическая аберрация системы пропорциональна общей массе всех пластинок на рычаге,

2) Угловая кома пропорциональна несбалансированному моменту относительно опоры рычага,

3) Угловой астигматизм пропорционален моменту инерции относительно опоры рычага,

4) Та часть угловой дисторсии, которая не является нормальной, пропорциональна моменту третьего порядка масс относительно опоры рычага,

где есть коэффициенты пропорциональности. Определим их. Для этого рассмотрим одиночное зеркало второго порядка. Забегая вперед укажем, что для него

С другой стороны, угловые аберрации (см. табл. 2.1)

Сопоставляя Эти значения с получаем, что

Что касается дисторсии, то стигматичная сфера Бёрча не свободна от дисторсии между объектом и плоскостью изображений, а, как показал Э. Линфут (Linfoot Е.Н. [1955,а ] гл.IV, § 1.3), дисторсия отсутствует только между объектом и сферой изображений, концентричной с анастигмирующей сферой. Таким образом сфера плюс анастигмирующие пластинки, на которые мы разбиваем систему, вносят свою долю в дисторсию. Эта доля должна быть прибавлена для того, чтобы получить истинную величину этой аберрации. Полная величина коэффициента дисторсии V складывается из двух частей:

1. Члена которую дает диаграмма Бёрча (выражение вида здесь и далее есть сокращенная запись суммы вида

2. Члена Линфута где кривизна Пецваля оптического элемента системы положение изображения пластинки cent-lam в пространстве объектов,

Параксиальные свойства оптической системы являются функциями радиусов кривизн оптических поверхностей, показателей преломления оптических материалов, толщин линз и расстояний между оптическими поверхностями, а аберрации

третьего порядка являются функциями оптических сил пластинок Бёрча.

Учитывая полученные значения коэффициентов пропорциональности, входящих в формулы (3.39)-(3.42), и формулу (2.1) (связывающую продольную и угловую аберрации и общую для сферической аберрации, комы и астигматизма), найдем выражение для коэффициентов аберраций, выраженные через массы пластинок Бёрча:

Положения изображений пластинок на диаграмме Берча отсчитываются от входного зрачка Это позволяет получить известные зависимости отдельных аберраций от положения входного зрачка. Так как а К не зависит от положений пластинок Бёрча, т.е. от положения входного зрачка, то сферическая аберрация не зависит от положения входного зрачка:

Для других аберраций

Кривизна Пецваля не зависит от положения входного зрачка:

Учитывая (2.28), формулу (3.51) можно записать в виде

Из формул (3.45) — (3.51) вытекает важное следствие: при исправлении первых аберраций третьего порядка аберрация с номером не зависит от положения входного зрачка.

Применение метода диаграммы пластинок Бёрча особенно удобно при исследовании чисто зеркальных систем.