§ 3.5. Расчет хода лучей через оптическую систему по формулам Федера

Приведенные выше формулы пригодны только для расчета хода лучей в меридиональной плоскости. Кроме того, они требуют вычисления тригонометрических и круговых функций. Это снижает точность расчета и требует значительной затраты машинного времени ЭВМ. Для расчета произвольных лучей, не лежащих в меридиональной плоскости (так называемых косых лучей) формулы очень сильно усложняются (мы их и не приводим). От этих недостатков свободны формулы, предложенные Д.Федером (Feder D.Р.[1951 ]), пригодные для расчета любых лучей. При расчетах, выполняемых на электронных вычислительных машинах, формулы Федера особенно удобны.

Начало координатной системы х, у, z (рис. 3.5) совпадает с вершиной первой поверхности, направление оси оптической осью системы, ось лежит в меридиональной плоскости, а ось сагиттальной. Величины, относящиеся ко второй поверхности (кроме ее кривизны мы будем снабжать штрихами.

Рис. 3.5. К расчету хода луча по формулам Федера. Луч выходит из точки поверхности с направляющими косинусами встречает поверхность в точке и после преломления имеет направляющие косинусы Углы, отмеченные черным сектором, являются прямыми

Исходными величинами в формулах Федера являются

х, у, z - координаты точки А пересечения луча с поверхностью; X, Y, Z - направляющие косинусы луча до преломления; - кривизна поверхности; квадрат эксцентриситета поверхности. Если поверхность является «сложной» асферикой порядка более высокого, чем второй, то задаются коэффициенты разложения формы поверхности по четным степеням зоны у (см. формулы (1.32));

d — расстояние между вершинами поверхностей;

показатели преломления сред, в которых распространяется луч до встречи с поверхностью и после нее. Так как во все формулы входят не сами показатели преломления, а лишь их отношение, то удобно ввести величину

Искомыми величинами являются:

координаты точки А встречи луча с к-й поверхностью в новой системе координат, начало которой совпадает с вершиной О второй поверхности;

направляющие косинусы луча после преломления на поверхности.

В зависимости от формы поверхности формулы несколько различаются. Они приведены в табл. 3.1. Смысл входящих в нее вспомогательных величин пояснен рисунком есть расстояние от точки А до точки есть вспомогательный перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую расстояние от точки А до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямой Опустим из точки перпендикуляр на оптическую ось он пересечет ее в точке Расстояние есть — длина перпендикуляра Величины угол падения угол преломления (или отражения) являются вспомогательными величинами.

Таблица 3.1 (см. скан) Сводка расчетных формул Федсра Расчет хода луча от поверхности к и преломления (или отражения) на ней

(см. скан)

Продолжение табл. 3.1 (см. скан)

В таблице 3.1 первый столбец формул относится к случаю, когда поверхность является сферой; второй столбец — к случаю поверхности вращения второго порядка; третий столбец — когда поверхность описана полиномом в форме

где зона, световой полупоперечник асферической поверхности, т.е. ее внешняя зона. В этом случае задачу приходится решать методом последовательных приближений. Начнем с того, что по формулам левого столбца найдем координаты ( точки (рис. 3.6) пересечения луча со сферой радиуса Используя уравнение (3.15) асферической поверхности найдем точку Эта точка лежит на асферике но не лежит на луче Найдем касательную плоскость к асферике в этой точке и место где ее пересекает луч.

Эта точка лежит близк к асферике. Нормаль к асферике в точке имеет направляющие косинусы

Рис. 3.6. Определение точки пересечения луча с асферической поверхностью методом последовательных приближений

Дифференцируя (3.15) и умножая каждый косинус на получим величины, пропорциональные направляющим косинусам, которые назовем направляющими множителями:

Пусть есть направляющие множители нормали в точке Тогда уравнение касательной плоскости будет

а уравнение луча

Решая их совместно, найдем точку Далее процес повторяется, но вместо исходной точки берется точка А Этот процесс будем повторять до тех пор пока разность не станет меньше заданной малой величины. Тогда точка есть искомая точка пересечения луча с асферикой. В таблице 3.1 описанный циклический процесс показан стрелкой.

В начале расчета в качестве исходной поверхности мы выберем произвольную («нулевую») плоскость, перпендикулярную оптической оси, и зададим на ней координаты лучей и их направляющие косинусы. В качестве «нулевой» плоскости целесообразно выбирать плоскость входного зрачка (хотя это необязательно), а точки пересечения лучей на ней — по равномерной ортогональной сетке. Косые лучи достаточно задавать наклоном пучка в меридиональной плоскости, полагая

Используем описанный алгоритм и будем последовательно выполнять переход от одной поверхности к следующей, пока не придем к фокальной поверхности. На ней мы найдем координаты точки встречи с ней рассчитываемого луча и направляющие косинусы луча после этой встречи. Совокупность точек с координатами на фокальной поверхности для разных лучей, нанесенных в некотором масштабе на график, называется точечной диаграммой (см. рис. 2.10). Вычисления по формулам Федера для сферической поверхности могут быть выполнены на микрокалькуляторах типа МК-52, МК-54, МК-56.

Программа 3.3 Программа расчета хода луча через сферическую поверхность по формулам Федера

(см. скан)

Засылки исходных данных для первой (если то полагаем Па (если исходная «нулевая» поверхность разметки зон совмещена с вершиной первой поверхности, то координаты луча на «нулевой» поверхности направляющие косинусы есть полевой угол). В необходимо занести 10. Так как длина программы микрокалькуляторов ограничена, то часть начальных операций, предваряющих работу программы, должна быть выполнена вручную: после чего индикатор не гасить, нажать В программе два останова: после первого останова через 40 с) на индикаторе высвечивается внесенное в значение После этого следует нажать При втором останове (через 20 с) высвечивается 1. Следом за этим необходимо вручную выполнить заключительные операции: Признак ошибки (по команде 48) высвечивается при полном внутреннем отражении или если луч проходит мимо поверхности. Результаты вычислений заносятся программой: Эти данные являются исходными для расчета встречи луча со следующей поверхностью. Кроме того при переходе к следующей поверхности необходимо занести данные о ней: а в ячейку занести 10 и вновь выполнить операции, предваряющие программу.

Пример: выполним расчет хода луча через линзу, ограниченную поверхностями толщиной изготовленной из стекла с показателем преломления Пусть «нулевая» поверхность совмещена с ее вершиной а плоскость изображений удалена от последней поверхности линзы на рсстояние Расчет выполним для луча с углом наклона пересекающего «нулевую» плоскость в точке с координатами Тогда В ходе вычислений удобно записывать промежуточные результаты в форме таблицы (табл. 3.2).

Таблица 3.2 (см. скан) Расчет хода луча на микрокалькуляторе через лнизу по формулам Федера

Подчеркнуты значения, вводимые оператором перед расчетом каждой из поверхностей. Разделы соответствуют предваряющим и завершающим этапам, выполняемым вручную.