§ 4.4. Ретушь сферического зеркала. Отражающие поверхности второго порядка

Сферическую аберрацию зеркала можно устранить, если ретушировать его поверхность, нанеся на сферу асферичность,

где радиус кривизны первоначальной сферической поверхности зеркала, совпадающий с радиусом кривизны ретушированного зеркала

в его вершине. При уравнение меридионального сечения поверхности будет

Это уравнение кривой второго порядка. Форма соответствующей поверхности определяется квадратом эксцентриситета

Лучи света, вышедшие из одного фокуса зеркала, собираются без аберраций в другом фокусе (рис. 4.5). Если то поверхность является сферической Если имеют одинаковые знаки,

Рис. 4.5. (см. скан) Безаберационные случаи отражения от вогнутых (слева) и выпуклых (справа) зеркал второго порядка: а — сферическое зеркало эллиптическое зеркало, в — параболическое зеркало, гиперболическое зеркало

но не равны между собой, то поверхность зеркала является эллипсоидом вращения (рис.4.5, б). Если имеют разные знаки, то поверхность зеркала является гиперболоидом вращения (рис. 4.5, г). Расстояние между фокусами эллиптического и гиперболического зеркал выражается формулой

Фокусы эллиптического и гиперболического зеркал являются сопряженными точками. Лучи, идущие сходящимся пучком к одному фокусу, встретив эллиптическое или гиперболическое зеркало, отразятся и соберутся во втором фокусе (рис. 4.5, б,г); сходимость их при этом изменится, но гомоцентричность сохранится. Эти свойства впервые были использованы Дж. Грегори в 1663 г. и Кассегреном в 1672 г. в телескопах, получивших их имена (см. § 6.5).

Если

В данном случае В результате мы получаем 2

Это уравнение параболы (рис. 4.5,б), - ее фокусное расстояние, радиус кривизны при вершине. У параболоида и один из фокусов лежит в бесконечности. Пучок лучей, идущий параллельно оси вогнутого параболического зеркала, собирается им без аберраций в его фокусе, отстоящем от вершины зеркала на расстояние . Это свойство широко используется со времен Ньютона (1688 г.) в рефлекторах (см. § 6.1 и 6.5). Если параллельный пучок падает на выпуклое зеркало, то в его фокусе будет построено мнимое изображение бесконечно удаленной точки (рис. 4.5, б).

Уравнение конического сечения с осью симметрии, совпадающей с осью и вершиной в начале координат, может быть записано в виде (1.21). Это уравнение является совершенно строгим для стрелки но при близком к единице, точность вычислений сильно падает. Чтобы этого избежать, надо использовать разложение (1.22).

В рамках теории аберраций третьего порядка для зеркал второго порядка

Первый член выражает параксиальный сопряженный отрезок, второй — продольную сферическую аберрацию третьего порядка. Если пучок лучей падает из бесконечности то в первом приближении

где — параксиальное фокусное расстояние.

Из формулы (4.35) вытекают следующие следствия:

1. Для любого расстояния и радиуса всегда можно подобрать такое значение что сферическая аберрация будет равна нулю. При этом

2. Для любого всегда можно найти такую точку, что в сопряженной с ней точке аберраций не будет, т.е. у всякой поверхности второго порядка с пара сопряженных безаберрационных точек (их нельзя, правда, назвать апланатическими, так как кома в них не исправлена).

3. У сплюснутых сфероидов пар сопряженных безаберрационных точек нет.

В случае поверхности более высокого порядка, чем вторая, аналогично формуле (4.11) для случая отражения будем иметь

Длина нормали определяется по формуле (4.12) или (4.12). Если луч идет из бесконечности то

Последний отрезок определяется при этом по формуле (1.16).