§ 9.8. Расчет камер Шмидта

Формула (9.5) выражает профиль коррекционной пластинки лишь в первом приближении. Более строгое решение описывается алгоритмом, с очевидностью вытекающим из идеи Шмидта:

1. Выбираем диаметр и относительное отверстие А камеры.

2. Выбираем среднюю длину волны и диапазон ахроматизации Выбор этих параметров определяется назначением камеры.

3. Выбираем материал коррекционной пластинки с тем, чтобы он был прозрачен для требуемого диапазона длин волн.

4. По каталогу оптических стекол определяем показатели преломления коррекционной пластинки для выбранных длин волн.

Предпочтительно выбирать чтобы было

5. По номограмме, аналогичной той, которая приведена на рис. 9.4, используя формулы (9.18) для избранного сорта стекла, определяем допустимое поле

6. Выбираем нейтральную зону

7. Используя формулы (4.19), (4.20) или (4.20) или программу 4.2, находим сферическую аберрацию сферического зеркала (без

коррекционной пластинки) для нескольких (практически достаточно трех — зон у.. Целесообразно выбирать следующие зоны

где внешняя зона коррекционной пластинки.

8. Сферическую аберрацию для нейтральной зоны обозначим через

9. Составим систему уравнений, выражающих полученные значения через искомые коэффициенты асферичности коррекционной

пластинки и степени отношений

10. Решая систему (9.21), находим значения

11. Определяем профиль поверхности коррекционной пластинки Шмидта, исправляющей сферическую аберрацию сферического зеркала,

где показатели преломления сред, разделяемых ретушированной поверхностью пластинки Шмидта для средней длины волны, выбранной в п. 2 описываемого алгоритма. Так как ретушируется обычно вторая поверхность пластинки, то

Начало координат помещено в центре ретушированной поверхности пластинки. Параметр определяет необходимую перефокусировку.

12. Коррекционная пластинка будет иметь радиус кривизны при вершине, равный

где

13. По формулам тригонометрического расчета (см. § 3.3) или по формулам Федера (§ 3.5) определяем сферическую аберрацию на зонах системы, включающей пластинку, описанную уравнением (9.22), и сферическое зеркало. В качестве фокальной поверхности берем выпуклую сферу, концентричную зеркалу; вершина этой сферы отстоит от центра зеркала на расстояние (рис. 9.2).

14. Зависимости (9.21) являются лишь линейными приближениями. На самом деле связаны между собой нелинейными уравнениями. Поэтому решение системы (9.21) не дает полного исправления и расчет, выполненный в соответствии с предыдущим пунктом, дает на зонах остаточные аберрации Для их исправления необходима коррекция коэффициентов

15. Составляем новую систему уравнений для определения искомых поправок

16. Решая систему (9.24), находим поправки которые прибавляем к ранее полученным значениям и находим соответственно новые значения с которыми определяем уточненный профиль коррекционной пластинки, после чего вновь выполняем расчет по формулам Федера. Опыт показывает, что двух приближений бывает достаточно, и еще один расчет по формулам Федера является контрольным.

Этапы 7-10 приведенного выше алгоритма могут быть выполнены на по программе 9.1 с обращением к программе № 6 блока подключаемого к

Программа 9.1

Расчет коэффициентов и свободных членов системы уравнений (9.21) для первоначального расчета коэффициентов профиля коррекционной пластинки Шмидта

(см. скан)

Первоначальные занесения: достаточно для первоначального расчета). Продолжительность счета (при с. Результаты расчета: и к не сохраняются. После завершения счета включаем блок и набираем на клавиатуре адрес 1054691 и нажимаем клавиши Примерно через 25 с получаем результаты:

Пример: . Получаем ,

В некоторых случаях бывает целесообразно уточнить положение фокальной поверхности, т.е. параметр Для этого выразим поперечную аберрацию в виде

где При поперечная аберрация будет

Продифференцируем (9.25) и решим полученное кубическое уравнение

Найдем значение которое отвечает условию т.е. соответствует «горбу» кривой Подставляя найденное в (9.25), определяем точку для этого удобно воспользоваться схемой Горнера:

Эти вычисления выполняем для нескольких значений Оптимальное значение будет достигнуто при т.е. тогда, когда «горб» кривой поперечной аберрации будет равен по абсолютной величине «хвосту». Для определения строим график: по оси абсцисс отложим а по оси ординат величины Асцисса точки пересечения прямой определит значение

Приближенная теория дает значение Однако при этом не учитывается влияние членов более высокого порядка. Определим положение нейтральной зоны строже, однако и здесь ограничимся шестой степенью зоны у. Нейтральная зона расположена на пластинке там, где касательная к ее поверхности ортогональна оптической оси. Поэтому продифференцируем уравнение (9.22) и производную приравняем нулю:

Мы получили относительно у кубическое уравнение. Из трех действительных решений лишь одно будет меньше 1. Это и будет

Если почленно сопоставить между собой формулы (9.5) и (9.22), то получим следующие выражения связи коэффициентов этих двух формул:

В качес I не первого приближения эти значения могут быть приняты на шаге приведенного алгоритма расчета камеры Шмидта. Связь между коэффициентами В и А в представлении полинома в виде (1.32) очевидна:

Расчет допусков на параметры Шмидта проще всего выполнить, давая небольшие вариации параметров расстоянию между пластинкой и зеркалом и определяя качество изображения.

В § 3.1 мы рассмотрели масштабирование асферических поверхностей. Если в камере Шмидта изменяются в к раз как продольные, так и поперечные размеры, то все ее конструктивные параметры, имеющие линейную размерность (в том числе и коэффициенты в формуле (9.22) или описывающие асферическую поверхность в форме (1.32)), изменятся в к раз. Во столько же раз изменятся и все продольные и поперечные линейные аберрации. Однако если при масштабировании мы меняем только продольные размеры в к раз, то значение не меняется, а поэтому

Соответственно коэффициенты разложения (1.32) будут

Здесь одна черточка над коэффициентами означает, что эти величины относятся к исходной системе, а две — к системе, масштабированной в к раз. При этом радиус кривизны зеркала и его фокус меняются в к раз, параметр К — в раз, а сферическая аберрация сферического зеркала

в раз, коэффициент меняется в раз, а коэффициент раз.

Расчет хода луча через асферическую поверхность коррекционной пластинки Шмидта может быть выполнен по обычным формулам расчета хода луча через сферическую поверхность, если аппроксимировать бесконечно малый элемент ее поверхности, окружающий точку (точку встречи падающего луча с поверхностью), — сферической поверхностью касающейся нашей асферики в точке М(х, у) и имеющей центр С на оптической оси системы (рис. 9.6).

Рис. 9.6. К определению отрезка

Это значит, что за условный радиус ее кривизны в точке пересечения луча мы принимаем длину отрезка нормали. Следует оговорить, что это не радиус кривизны поверхности в том смысле, в котором он определяется в дифференциальной геометрии. Длина поднормали

Длина отрезка будет

Этот отрезок и следует принимать за радиус кривизны преломляющей поверхности на зоне у. Угол падения луча на преломляющую

поверхность определяется из уравнения

Дальнейшие вычисления выполняются в соответствии с правилами, изложенными в § 3.4.