§ 2.3. Сферическая аберрация третьего порядка и выбор плоскости наилучшей фокусировки

Займемся анализом выражений (2.6) и (2.7). Член

не зависит от угла наклона пучка лучей к оптической оси системы. Он выражает аберрацию, которая постоянна по всему полю. Такая аберрация называется сферической аберрацией третьего порядка. При наличии только одной этой аберрации изображение идеальной точки, даваемое системой в фокальной плоскости, будет иметь вид кружка. Интенсивность в разных точках его обратно пропорциональна четвертой степени расстояния от центра кружка. Для малосветосильных объективов поперечная сферическая аберрация третьего порядка пропорциональна кубу относительного отверстия:

Волновая аберрация, вызванная погрешностью фокусировки будет

Рис. 2.4. Графики продольной угловой и волновой сферической аберрации и их изменение при дефокусировке

Построим графики величин откладывая их по оси абсцисс. Для графиков по оси ординат будем наносить значения у, а для А — величину у (рис. 2.4). Новой плоскости фокусировки, смещенной относительно старой на величину А, будут отвечать сдвиг кривой параллельно самой себе и повороты кривых В этой новой плоскости (обозначим ее через поперечная аберрация будет

где есть поперечная аберрация в плоскости Гаусса. Волновая аберрация лучей, достигающих плоскости в соответствии с (2.3) будет

Для каждой зоны у можно выбрать такое положение плоскости что для нее волновая аберрация обратится в нуль,

где есть волновая аберрация лучей для рассматриваемой зоны у в фокусе параксиальных лучей (т.е. в плоскости Гаусса).

В плоскости фокуса параксиальных лучей (см. рис. 2.1) поперечная аберрация параксиальных лучей отсутствует, а поперечная

аберрация краевых лучей есть где внешняя зона волнового фронта. В фокусе краевых лучей поперечная аберрация этих лучей отсутствует, а поперечная аберрация параксиальных лучей составляет Фокус лучей, идущих из зоны у, будет в точке Пусть он отстоит на расстояние от В силу (2.2) в точке поперечная аберрация будет

Учитывая (2.2), получим

Тогда разность волновых аберраций составит

Рис. 2.5. Поперечная аберрацияр как функция зоны у

Нанесем на график величину поперечной аберрации как функцию зоны у, откладывая по оси абсцисс, а у — по оси ординат (рис. 2.5). Тогда площадь, ограниченная кривой, осью ординат и горизонтальной прямой (на рис. 2.5 она заштрихована) будет пропорциональна разности волновых аберраций, приходящих в фокус от зон, лежащих между Член в формуле равен площади треугольника, заключенного между теми же прямыми и линией Таким образом, если система дает в данной плоскости фокусировки большую разность хода, то, выбирая новую плоскость фокусировки мы улучшим дело: волновые аберрации параксиального и краевого лучей будут равны нулю. Для этого плоскость должна быть выбрана так, чтобы площадь, ограниченная кривой, и площадь треугольника были равны (т.е. были равны площади участков на рис. 2.5). Из рис. 2.1 видно, что точка должна лежать почти посредине между т.е. должно быть Тогда в фокусах краевых (точка А) и параксиальных (точка лучей (рис. 2.1) волновые аберрации будут одинаковые, достигая наибольшего значения из всех, какие имеются в промежуточных точках, лежащих между

Первые члены разложения волновой аберрации в ряд по степеням зон у можно записать в виде

Если принять то при

Тогда запишется в виде

Волновая аберрация лучей, идущих из зоны в плоскости Гаусса будет Максимальное значение волновой аберрации будет при т.е. при или при

При этом волновая аберрация краевых и параксиальных лучей в новой плоскости фокусировки будет

Мы убеждаемся в том, что в плоскости, средней между плоскостью Гаусса и фокусом краевых лучей, сферическая волновая аберрация третьего порядка в четыре раза меньше, чем в плоскости Гаусса. Однако в § 2.13 мы покажем, что при учете аберраций пятого порядка и при исправлении сферической аберрации на внешней зоне, волновую аберрацию можно уменьшить в 8 раз.

Сферическая аберрация определяется пучком лучей, идущим из точки, расположенной на оптической оси системы. Если эта точка лежит в бесконечности, то лучи идут пучком, параллельным оси. При этом, где бы ни был расположен входной зрачок, если он не отрезает лучи, идущие к краевой зоне объектива, то он не влияет на ход лучей. Поэтому, если объект лежит в бесконечности, то положение входного зрачка не влияет на сферическую аберрацию. Лишь изменяя диаметр входной диафрагмы можно отрезать лучи, идущие к краевым зонам объектива, и тем уменьшить сферическую аберрацию. Это называется диафрагмированием объектива.