третьего порядка для зоны у. Для сокращения записей удобно ввести обозначение
Тогда
В первом приближении продольная сфкрическая аберрация пропорциональна квадрату зоны у. В случае отражения следует формально считать 
Хотя формула 
является приближенной и имеет больше теоретический интерес (с этой целью мы будем использовать ее в дальнейшем) 
но в некоторых случаях она может быть использована и для практического расчета. Поэтому мы приводим программу для микрокалькуляторов, определяющую 
Вычисление 
выполняется по строгой формуле (4.2). Более строгое вычисление продольной сферической аберрации 
после встречи луча с одиночной сферической (или плоской) преломляющей или отражающей поверхностью может быть выполнено по универсальной программе тригонометрического расчета хода луча или с использованием формул 
(см. § 3.3 и 3.5).
Программа 4.1.
Расчет параксиального последнего отрезка 
продольной сферической аберрации 
и последнего отрезка для зоны у при преломлении произвольного луча на одиночной сферической поверхности (по формулам (4.1)-(4.3))
(см. скан)
Первоначальные засылки: 
Результаты читаются из 
Вычисление занимает около 18 с.
Пример: 
Результат: 
. Контрольное вычисление по универсальной программе тригонометрического расчета хода луча (§ 3.3) дало 
. Разница объясняется тем, что формула (4.3) учитывает аберрации только третьего порядка.
Рассмотрим отдельные частные случаи.
Случай 1. Лучи идут из бесконечности 
Тогда
Если при этом, как это обычно бывает, показатель преломления первой среды 
то
Случай 2. Найдем такое положение точки А, при котором продольная сферическая аберрация обращается в нуль. Для этого достаточно приравнять нулю числитель в (4.3) и решить полученное уравнение относительно 
Оно имеет два корня:
Тервый корень соответствует падению лучей на поверхность по нормалям к ней. При этом они не претерпевают преломления. Этот случай тривиален и имеет ограниченное практическое применение. Он используется тогда, когда надо впустить сходящийся или выпустить расходящийся пучок из одной среды в другую не внося в него аберраций и не изменив его сходимость. Второй корень соответствует решению, при котором сходимость пучка существенно изменяется (рис. 4.2,а и 4.2,6). X. Гюйгенс показал, что в этих точках выполнено также и условие синусов, т.е. исправлена кома третьего порядка. Поэтому эти точки называются апланатическими точками Гюйгенса. Всего у сферической поверхности три апланатические точки: в центре кривизны 
и на сопряженных расстояниях
от вершины сферической поверхности.
Рис. 4.2. Апланатические точки 
сферической поверхности
Случай 3. Преломляющей поверхностью является плоскость 
Тогда
и апланатические точки оказываются расположенными в бесконечности. Гомоцентрический пучок при преломлении через плоскую поверхность перестает быть гомоцентрическим. Гомоцентричность сохраняется лишь если 
или 
Первый из этих случаев соответствует преломлению
через плоскость раздела двух сред с одинаковыми показателями преломления, что неинтересно; второй — соответствует отражению в плоском зеркале. Гомоцентричность при преломлении на плоскости сохраняется в предельном случае, когда лучи идут параллельным пучком из бесконечности 
Зная продольную сферическую аберрацию (4.3), используя формулы (2.1)-(2.3), легко найти соответствующие выражения для поперечной 
угловой 
и волновой 
аберраций третьего порядка в плоскости Гаусса:
Надлежащей перефокусировкой (см. § 2.3) можно уменьшить волновую аберрацию третьего порядка и кружок рассеяния в 4 раза.
от сферической преломляющей поверхности 
Пусть 
а второй 
пересечет оптическую ось в сопряженной точке А, а луч 
в точке 
Отрезки 
связаны между собой зависимостью
выражает параксиальный сопряженный отрезок (см. формулы (1.16) и (3.3)), а член 
продольную 