§ 3.4. Тригонометрический метод расчета хода меридионального луча через произвольную асферическую поверхность

Существует множество различных методов тригонометрического расчета хода лучей через асферическую поверхность второго порядка. Мы не будем на них останавливаться, а опишем общий метод, пригодный для поверхности произвольной формы. Единственным ограничением, накладываемым на форму поверхности, является дифференцируемость уравнения, описывающего поверхность. Этому требованию удовлетворяют практически все поверхности, используемые в астрономии, и, в частности, все поверхности, описанные в § 1.4.

На рис. 3.4 приведена осесимметричная центрированная асферическая поверхность Пусть уравнение этой поверхности есть Падающий луч составляющий угол а с оптической осью, встречает поверхность в точке на зоне Угол падения есть

где производная взята в точке Так как нам надо определить угол преломления (или отражения) то в окрестности точки можно аппроксимировать поверхность сферой касающейся

Рис. 3.4. Преломление на асферической поверхности

асферики в точке и имеющей центр С, лежащий на пересечении оптической оси с нормалью к поверхности в точке Естественно, что радиус кривизны поверхности не будет равен радиусу кривизны сферы но нам важно ишь, чтобы направление нормали совпадало с радиусом аппроксимирующей сферы. Тогда для расчета преломления луча на асферической поверхности можно использовать формулу (3.3), подставив в нее вместо значения величину

Описанный метод применяется при расчете камеры Шмидта (см. § 9.2) и асферических корректоров рефлекторов.

Рассмотрим частный случай, когда поверхность является асферикой второго порядка. Выберем начало координатной системы в вершине О асферики. Пусть есть радиус кривизны в ее вершине, соответствующий центр кривизны. Воспользуемся известным свойством кривых второго порядка: аберрация нормалей

2 Здесь есть абсцисса точки квадрат эксцентриситета поверхности. Тогда

Далее используем формулы, приведенные в § 3.3, подставив в них вместо значения величину