§ 4.8. Бесконечно тонкие линзы

Широкое применение в астрономической оптике имеют линзы. В диоптрических обьективах они используются как основные компоненты. В катоптрических объективах они играют вспомогательную роль корректоров, увеличивающих полезное поле. В катодиоптрических системах им вновь отводится одна из основных ролей в объективе, а именно — компенсация аберраций зеркал. Подробнее об этом будет сказано в гл. 8. Сейчас мы рассмотрим свойства отдельной линзы как элемента, входящего в оптическую систему. Под линзой принято понимать кусок оптически однородного материала (обычно стекла того или иного сорта, иногда кварца или какого-либо кристалла) с оптически обработанными поверхностями. По большей части поверхности линзы бывают сферическими, хотя иногда, особенно в последнее время, применяются и асферические поверхности. Прямая, соединяющая центры двух сферических поверхностей, называется оптической осью линзы. Если обе поверхности линзы концентричны, то она имеет бесчисленное число оптических осей; все они проходят через ее центр кривизны. В случае, если одна из поверхностей линзы асферична, то она имеет свою оптическую ось; центр кривизны второй поверхности должен лежать на этой оптической оси. Линза называется центрированной, если она округлена так, что оптическая ось является ее осью симметрии.

Оптические свойства линзы со сферическими поверхностями однозначно определяются радиусами кривизны толщиной ее и материалом, из которого она сделана. Материал определяет

показатели преломления для интересующих нас длин волн А. и дисперсию Для расчета хода луча через линзу нам необходимо знать также его траекторию в пространстве предметов и, в частности, расстояние от первой поверхности линзы до объекта и зону у на линзе, где луч ее встречает, или апертурный угол.

Для простоты будем считать, что апертурные углы в пространствах предметов и изображений невелики, т.е. что у невелико по сравнению с отрезками Это позволит нам ограничиться аберрациями третьего порядка. Кроме того, поначалу будем считать, что толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с отрезками Такую линзу будем называть бесконечно тонкой. Вместо величин удобно ввести обратные им величины:

Величины называются кривизнами поверхностей. Также удобно ввести обозначение для разности кривизн

Линзы, у которых обе поверхности имеют радиус кривизны одного знака и разность кривизн мала, называются менисками. Такие линзы получили применение в менисковых системах Д.Д. Максутова (см. § 10.1). Изображение мениска читатель найдет на

Применив формулы (4.2) и (4.3) последовательно к первой и второй поверхностям линзы и выполнив некоторые преобразования, получим следующие выражения для величин о, обратных сопряженным отрезкам и для продольной сферической аберрации бесконечно тонкой линзы:

Если линза симметричная и лучи идут из бесконечности, то

Формулу (4.63) удобно преобразовать к виду

где

Если лучи идут из бесконечности то фокусное расстояние линзы для зоны у будет

где параксиальное фокусное расстояние

Оптическая сила бесконечно тонкой линзы есть

а продольная сферическая аберрация для бесконечно удаленной точки 2

Вообразим, что линзу можно изгибать так, что величина остается при этом неизменной, а величины меняются. За независимую переменную примем кривизну первой поверхности линзы. Зависимость от при этом, как видно из (4.67), квадратичная. Если попытаться приравнять квадратную скобку, входящую в (4.67), нулю, то мы получим квадратное уравнение, которое для всех преломляющих материалов имеет только комплексное решение: т.е. для предмета, расположенного в бесконечности, любая тонкая линза со сферическими поверхностями имеет продольную сферическую аберрацию, абсолютная величина которой зависит от формы линзы и при изменении может достичь минимума, но никогда не обращается в нуль. Зависимость продольной сферической аберрации положительной и отрицательной линз, изготовленных из стекла от значения т. е. зависимость от ее формы, дана на рис. 4.21. При этом условно принято

Обратим внимание на то, что положительная линза имеет отрицательную сферическую аберрацию, а отрицательная линза имеет положительную аберрацию. Это очень важное обстоятельство, как мы увидим в гл. 5, позволяет, используя в объективе две линзы —

положительную и отрицательную, компенсировать сферическую аберрацию.

Любители астрономии применяют иногда в качестве объектива телескопа простую положительную линзу. Какую форму она должна иметь? Очевидно, следует применять линзу, обеспечивающую наименьшую сферическую аберрацию. Продифференцировав (4.67) пор получим значение при котором это требование выполнено:

Определив из (4.66) значение и подставив его в (4.68), получим

Можно приближенно считать ; этому соответствуют значения

т.е. первая поверхность линзы, обращенная к небу, должна быть приблизительно в 6 раз круче второй. Это соотношение зависит от показателя преломления. Так, для линзы из стекла для первая поверхность должна быть круче второй в 6,73 раза.Если используется плоско-выпуклая линза, то она обязательно должна быть обращена к небу выпуклой поверхностью. При этом сферическая аберрация почти в 4 раза меньше, чем если обратить ее к небу плоской стороной. Соотношения (4.69) позволяют оценить необходимые для получения заданного фокусного расстояния радиусы кривизны поверхностей, обеспечивающих минимальную сферическую аберрацию. Найдем остаточную продольную сферическую аберрацию бесконечно тонкой линзы, для которой минимально, т. е. выполнены

Рис. 4.21. Зависимость продольной сферической аберрации (выраженной в единицах фокусного расстояния) положительной (внизу) и отрицательной (вверху) бесконечно тонких линз от их формы для двух значений относительного отверстия

условия (4.68) или (4.69). Для этого подставим в (4.67) значение из (4.68) и До из (4.66). После несложных преобразований получим

Используя (2.1) и (2.3), найдем продольную, угловую и волновую аберрацию третьего порядка. Определим их на внешней зоне :

При

Сравним минимальную сферическую аберрацию одиночной бесконечно тонкой линзы со сферической аберрацией сферического зеркала. Первая определяется формулой (4.70) и при составляет

Вторая определяется формулой (4.27), откуда следует, что простая линза оптимальной формы дает минимальную продольную сферическую аберрацию примерно в 8 раз большую, чем сферическое зеркало того же фокусного расстояния.

При выполнении визуальных наблюдений в плоскости Гаусса с помощью однолинзового объектива диаметра из стекла с с оптимальными кривизнами поверхностей (выраженными формулой относительное отверстие его не должно превышать величину

однако надлежащей перефокусировкой волновую аберрацию можно уменьшить в 4 раза, что позволит увеличить относительное отверстие

Сказанное относится только к наблюдениям в монохроматическом свете.

Для получения анаберрационной линзы необходмо исправить ее волновую сферическую аберрацию Этого можно достичь если ретушировать линзу с минимальной сферической аберрацией, создав на одной из ее поверхностей асферичность (5, максимальное значение которой в соответствии с (1,41), (1.41) и (4.71) составит

где есть асферичность и волновая аберрация на внешней зоне. При

Продольная сферическая аберрация выпукло-плоской линзы

На внешней зоне будет

Угловая и волновая аберрации соответственно будут

Для исправления этой волновой аберрации необходимо нанести на одну из поверхностей выпукло-плоской линзы ретушь

При получаем

Ретушь одной из поверхностей линзы применяется в коронографах. От объектива коронографа требуется построить высококачественное изображение Солнца при минимальном количестве рассеянного света. Последнее требование заставляет применять однолинзовый объектив, изготовленный из особо высокосортного стекла без пузырей и свилей. Хроматизм объектива не страшен, так как дальше используется узкополосный фильтр, который пропустит лучи только узкого спектрального участка, а сферическая аберрация его исправляется ретушью.

Для получения анаберрационного однолинзового объектива возможны следующие варианты ретуши:

Вариант 1. Ретуширована передняя поверхность линзы объектива. Ей, в соответствии с придана форма эллипсоида вращения с квадратом эксцентриситета

Рис. 4.22. Анаберационные линзы: а — первая поверхность эллипсоид вращения, вторая — сферическая; б - первая поверхность плоская, вторая — гиперболоид вращения

Лучи, преломившись на ней, приобретают гомоцентричность. Очевидно, что вторая поверхность не должна нарушать это условие. Значит, она должна быть сферической с центром кривизны расположенным в фокусе первой поверхности (рис. 4.22,а). Максимальная асферичность первой поверхности линзы будет

При

Вариант 2. Ретуширована задняя поверхность объектива. Чтобы она образовала после преломления гомоцентрический пучок, она должна иметь форму гиперболоида вращения, а на нее должен падать параллельный пучок лучей. Значит, первая поверхность объектива должна быть плоской (см. рис. 4.22,6). Необходимая асферичность при этом будет по абсолютной величине та же, что и в предыдущем случае, но противоположного знака.

Вариант 3. Можно ретушировать выпукло-плоскую линзу, например ее выпуклую сферическую поверхность, оставив вторую

поверхность плоской. Необходимая ретушь определяется формулой (4.77). При она составляет, как мы видели,

Если ретушировать плоскую поверхность, то ретушь изменит знак, сохранив абсолютную величину неизменной. Ретушь можно расчленить, нанеся половину ее величины на каждую поверхность.

Вариант 4. Асферичность будет минимальна в том случае, если волновая аберрация линзы минимальна. Мы видим, что сферическая аберрация минимальна у линзы, для которой выполнено условие (4.68). При этом волновая аберрация определяется формулой (4.71). Для ее исправления необходимо деформировать одну из поверхностей линзы на величину

При Такую асферичность можно нанести на любую из поверхностей линзы или распределить в любой пропорции между обеими поверхностями ее, например поровну. Последний вариант является наиболее выгодны, так как является наиболее технологичным.

Сферическая аберрация зависит от положения входного зрачка. Этого нельзя сказать про кому, астигматизм, кривизну поля и дисторсию. Анализ показывает, что можно найти такое положение входного зрачка, при котором для заданной линзы кома третьего порядка будет отсутствовать. Для линзы, обладающей минимальной сферической аберрацией, этому значению соответствует т.е. входная диафрагма должна стоять перед объективом со стороны предмета. Но оказывается, что при очень сильно зависит При этом астигматизм и кривизна поля значительны. К. Шварцшильд (Schwarzschild К. [1905]) показал, что одиночная бесконечно тонкая линза с входным зрачком, совпадающим с самой линзой, свободна от комы, если радиусы кривизны ее удовлетворяют условиям

При получаем При этом ретушью поверхностей линзы можно исправить сферическую аберрацию и получить таким образом полностью апланатическую линзу. В формулы (4.62) и (4.63) входит показатель преломления Он зависит от длины волны света. Значит, для лучей разных цветов последний отрезок параксиальных лучей (а значит, и фокусное

расстояние и продольная сферическая аберрация будут разными, Первое из этих явлений называется продольным хроматизмом параксиальных лучей, или хроматизмом положения, второе — сферо-хроматической аберрацией. Кроме того, фокусное расстояние для лучей разных длин волн может оказаться различными. Это вызывает различие масштаба, в котором изображение объекта строится лучами разных цветов. Изображение любого резко очерченного протяженного объекта получает цветную каемку. Это явление называется хроматизмом увеличения.

Показатель преломления для каждого сорта стекла определяется экспериментально для тех длин волн, в которых имеется яркое монохроматическое излучение тех или иных атомов (водорода, ртути, натрия и др.). Некоторые наиболее яркие линии излучения имеют исторически сложившиеся буквенные обозначения. Другие определяются их длиной волны. Показатель преломления всех оптических стекол возрастает с уменьшением длины волны А. Зависимость эта не линейная. Разность показателей преломления для линий т.е. величина называется средней дисперсией данного сорта стекла. Разность для разных длин волн А называется частной дисперсией. Э. Аббе ввел еще одну характеристику стекла,

где показатель преломления стекла в линии

Этот коэффициент называется относительной дисперсией или числом Аббе. Все сорта стекол делятся на два основных типа: кроновые стекла и флинтовые стекла. Первые имеют сравнительно малый показатель преломления, но значительную дисперсию, вторые — наоборот, большой показатель преломления, но малую дисперсию. Показатели преломления, частные и относительные дисперсии приведены в ГОСТ 13659-79 «Стекло оптическое бесцветное» (М., 1979).

Рассмотрим ход параксиальных лучей разных длин волн через бесконечно тонкую линзу. Оптическая сила ее определяется формулой (4.66). Чем больше т.е. чем короче длина волны, тем короче и фокусное расстояние (рис. 4.23). За меру хроматизма принимают расстояния между фокусами лучей выраженное в единицах фокусного расстояния для лучей Такой выбор обусловлен тем, что человеческий глаз мало чувствителен для длин волн более коротких, чем и особенно длинных, чем Из (4.66), учитывая, что получаем

Рис. 4.23. Продольный и поперечный хроматизм одиночной бесконечно тонкой линзы

Иначе говоря, относительная величина продольного, углового и поперечного хроматизма бесконечно тонкой линзы обратно пропорциональна коэффициенту дисперсии (числу Аббе). Поэтому, используя в качестве объектива одиночную линзу, следует изготавливать ее из стекла с большей дисперсией. К таким стеклам относятся стекла типа крон. Отметим, что в то время как фокусное расстояние зависит от разности кривизн До поверхностей линзы, относительный продольный хроматизм в первом приближении не зависит от формы линзы, а лишь от ее материала.

Если имеются два луча длин волн то луч соберется к объективу ближе, чем луч на долю фокусного расстояния Для крона Отсюда

Для стекла сорта флинт Отсюда

Пусть линза имеет диаметр D (рис. 4.23). В плоскости фокуса лучей средней длины волны изображения бесконечно удаленной точки представятся в виде хроматических кружков приблизительно одинакового радиуса как в лучах так и в лучах

Для линзы из крона

Для линзы из флинта

Это очень большие величины. Простейший телескоп из одиночной очковой кроновой линзы диаметром будет иметь диаметр хроматического кружка Угловой хроматизм будет

Продольный хроматизм пропорционален фокусному расстоянию поперечный — диаметру а угловой — относительному отверстию А линзы. Волновой хроматизм пропорционален произведению

В лучах С волновой хроматизм отрицателен, а в лучах положителен. Визуальный однолинзовый объектив будет первоклассным для интервала длин волн от до если волновой хроматизм не будет превышать четверти длины волны Тогда

Предельные значения А и соответственно минимальные допустимые значения фокусного расстояния приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5 (см. скан) Ограничение хроматизмом относительного отверстия и минимальное допустимое фокусное раастояние для однолинзового объектива диаметром из стекла Максутову [1946, 1979])

Начинающий любитель, изготавливающий объектив телескопа из очкового стекла силой диоптрия желая получить первоклассное изображение, должен задиафрагмировать его до диаметра При этом он потеряет значительное количество света, но с этим придется мириться: все же света будет в 4 раза больше, чем при наблюдении невооруженным глазом, т.е. он выиграет 1,5 звездной величины и сможет наблюдать объекты примерно до 7,5 звездной величины.

Сравнивая формулы (4.72) и (4.87), мы видим, что не сферическая аберрация, а хроматизм лимитирует относительное отверстие однолинзового объектива.

До середины XVIII в. применялись однолинзовые объективы. Для уменьшения влияния хроматизма астрономы тех лет (Ян Гевелий, Дж. Кассини, Хр. Гюйгенс, М. Кампани и др.) вынуждены были применять чрезвычайно длинные и неудобные в работе телескопы, получившие название «воздушные трубы». Длина трубы наибольшего из них — телескопа Яна Гевелия в Данциге ( достигала при диаметре объектива (относительное отверстие приблизительно Только использование столь длинных труб, несмотря на чрезвычайные трудности пользования ими, позволило Дж. Кассини определить в 1666 г. период вращения Марса, открыть в 1672 г. полярные шапки на нем, а в 1675 г.—сложную структуру кольца Сатурна.