§ 1.3. Параксиальная оптика (оптика Гаусса)

Для луча, который испытывает преломление на сферической поверхности, имеющей радиус и разделяющей среды с показателями преломления лил, известно соотношение

которое называется нулевым инвариантом Аббе. Из него следует, что фокусное расстояние одной преломляющей сферической поверхности

В случае отражения луча в сферическом зеркале и

Рассмотрим вопрос об увеличениях оптической системы. Различают угловое, поперечное и продольное увеличения. Обозначим через соответственно линейные размеры предмета и его изображения, через расстояния от фокусов до предмета и его изображения, а через фокусные расстояния (см. рис. 1.7). Тогда линейное поперечное увеличение которое дает оптическая система, есть отношение размера параксиального изображения к размеру предмета. Оно выражается формулой Ньютона

Эта формула называется также формулой линейного увеличения. Она связывает фоксные расстояния системы с расстоянием от переднего фокуса до предмета А и с расстоянием от заднего фокуса до изображения А того же предмета:

Отметим, что фокусные расстояния отсчитываются от соответствующих главных плоскостей а отрезки от фокусов Угловым увеличением называется отношение (см. рис. 1.7)

При малых углах

Имеется зависимость

где соответственно показатели преломления сред предметов и изображений. В линзовом телескопе То же имеет место и в зеркальном или зеркально-линзовом телескопе, если он содержит

четное число зеркал. Если же зеркал содержится нечетное число, то поэтому для телескопа, пространством предметов и изображения которого является воздух,

где k — число отражающих поверхностей (зеркал).

Если объект имеет какую-то протяженность вдоль оптической оси (то, что в фотографии называется «глубиной» объекта), то протяженность изображения, которую обозначим через будет

Отношение называется продольным увеличением в сопряженных точках на оси. Продольное увеличение равно квадрату поперечного:

Казалось бы, что так как астрономические объекты расположены в бесконечности, то понятия линейного и продольного увеличений не имеют смысла для астрономического телескопа. Однако это не так: понятие продольного увеличения существенно в оптических системах, перебрасывающих изображение из одной плоскости в другую. Если, скажем, из-за теплового расширения механических конструкций трубы телескопа плоскость изображения сместится относительно перебрасывающей оптической системы на величину то перебрасываемое изображение сместится на отрезок

Условие тангенсов

связывает длину отрезка I в пространстве предметов с длиной его изображения и с углами оно. Система, в которой условие тангенсов соблюдено, называется ортоскопической. Если условие тангенсов не соблюдено, то изображение предмета не подобно самому предмету. Такое искажение называется дисторсией (подробнее о дисторсии см. § 2.6, 4.7). В параксиальной области углы оно малы, поэтому

Это формула Лагранжа-Гельмгольца. В случае отражения она принимает вид

Условие, при котором оптическая система строит идеальное изображение весьма малого, но конечного участка объекта, перпендикулярного оптической оси и близкого к ней, носит название условия синусов Аббе:

Несоблюдение этого условия приводит к появлению в оптической системе аберрации комы (см. § 2.6). Очевидно, что одновременное выполнение условий тангенсов (1.9) и синусов (1.10) невозможно, т.е. одновременное полное исправление дисторсии и комы в плоскости Гаусса недостижимо (добавим, что это утверждение справедливо только для плоского поля).

Величина, обратная фокусному расстоянию , называется оптической силой Если/выражено в метрах, то оптическая сила выражается в диоптриях. Кривизной поверхности называется величина, обратная ее радиусу кривизны: Рассмотрим соединение двух соосных оптических систем в одну с общей оптической осью. Пусть первая система (рис. 1.8) задана главными фокусами и главными плоскостями и определенными лучом Пусть вторая система задана главными фокусами и главными плоскостями и Пусть расстояние от заднего главного фокуса первой системы до переднего главного фокуса второй системы есть а главные фокусные расстояния систем соответственно Главные фокусные расстояния сложной системы будут

Заменим фокусные расстояния обратными им величинами оптических сил, а радиусы — кривизнами. Тогда

Иногда бывает удобно выразить общую оптическую силу двух совмещенных оптических систем через расстояние между задней главной плоскостью первой системы и передней главной плоскостью второй системы:

Рис. 1.8. Соединение двух оптических систем в одну с общей оптической осью

Расстояние фокуса системы от задней главной плоскости второй системы будет

Если фокусы передней и задней компонент совмещены, то Такая система, являясь афокальной, используется в визуальных телескопах.

Рассмотрим одиночную линзу, изготовленную из материала с показателем преломления и находящуюся в воздухе. Пусть она имеет толщину и поверхности ее имеют кривизны Обозначим

Линзу можно рассматривать как соединение двух систем, каждая из которых содержит по одной поверхности. Тогда, используя формулы (1.5), (1.11) и (1.13), получим

В случае бесконечно тонкой линзы формула упрощается:

Если линза находится в воздухе, то

Найдем фокусное расстояние сложной оптической системы, содержащей поверхностей. Используя (1.4), мы можем определить параксиальное значение последнего отрезка одной преломляющей поверхности

В случае, если лучи идут из бесконечности они собираются в главном фокусе и

Если преломление происходит на плоскости то

Если луч отражается от зеркала, имеющего радиус кривизны то и

Напомним, что формулы справедливы только в параксиальной области.

Для следующей по ходу луча поверхности, отстоящей от рассматриваемой на расстоянии первый отрезок ее будет

Таким образом, переходя от одной поверхности к следующей, мы в состоянии определить для поверхности

Пусть оптическая система содержит к оптических поверхностей (преломляющих или отражающих). Вычислим по формулам (1.16) и (1.17) для луча, идущего из бесконечности все отрезки Тогда фокусное расстояние легко найти по формуле

где черточки над буквами обозначают, что Поперечное и угловое увеличения соответственно будут

число отражающих поверхностей.

Обычно первой и последней средами является воздух. При этом Однако в отдельных случаях для повышения относительного отверстия системы используют иммерсию, т.е. промежуток между последней (обычно плоской) поверхностью оптической системы и светоприемником заполняют прозрачной жидкостью (специальным минеральным маслом) с показателем преломления Иммерсию использовал Боуэн в светосильной камере спектрографа кудэ -метрового телескопа Паломарской обсерватории.

В телескопах, предназначенных для астрономических исследований важно знать положение главных, точек. Для одиночной толстой линзы оно определяется отрезками (рис. 1.9,а),

где толщина линзы, ее фокусное расстояние, показатель преломления материала, из которого изготовлена линза, и - радиусы кривизны ее поверхностей

Рис. 1.9. К определению положения главных точек линзы и объектива (б)

Важным частным случаем является плоско-выпуклая линза с толщиной и радиусом кривизны выпуклой поверхности. Для нее

вершина линзы лежит в задней главной плоскости линзы. Для сложной системы (рис. 1.9, б)

Значение вычисляется по этой же формуле, но в обратном ходе лучей, т.е. при повороте систмы на 180°. При этом меняются знаки всех радиусов кривизны поверхностей на обратные и меняется последовательность отрезков