§ 4.2. Преломление луча на одиночной асферической поверхности. Ретушь преломляющей сферической поверхности

Сферическая аберрация третьего порядка при преломлении на асферической поверхности выражается формулой

где есть длина номали в точке (см. рис. 3.4). Если поверхность является асферикой второго порядка, то

где радиус кривизны при вершине, у — зона, квадрат эксцентриситета. Символ имеет следующий смысл:

В общем случае, если поверхность является асферикой более высокого порядка, то

Последний отрезок входящий в (4.11), определяется по формуле (1.16).

Формула (4.3) справедлива для строго сферической преломляющей поверхности. Попытаемся исправить сферическую аберрацию, несколько деформируя сферическую преломляющую поверхность. Всякое отступление от правильной сферической формы приводит к тому, что поверхность становится асферической. Мерой асферичности является отстояние этих поверхностей друг от друга, измеряемое на зоне у в направлении, параллельном оптической оси (см. рис. 1.11). Для этого нанесем на сферу такую асферичность чтобы вызванная ею волновая аберрация

была равна по абсолютной величине и противоположна по знаку волновой аберрации сферической преломляющей поверхности. Необходимая асферичность будет

Если лучи идут из бесконечности и параллельно оптической оси то

При этом меридиональное сечение поверхности описывается уравнением

Это есть уравнение кривой второго порядка с началом координат в вершине поверхности. Если, кроме того, луч входит из воздуха в стекло то

Это уравнение эллипса (рис. 4.3,а) с квадратом эксцентриситета

Изображение бесконечно удаленной точки находящейся на оптической оси оказывается расположенным во втором (более удаленном от вершины поверхности) фокусе эллипса. Если а есть большая полуось его, то

Если луч шел параллельно оптической оси в среде с показателем преломления и выходит из нее в воздух, то уравнение (4.15) преобразуется к виду

Это уравнение гиперболы с началом координат в ее вершине. Квадрат эксцентриситета у нее

а ветвь ее, ограничивающая поверхность, обращена влево. Изображение бесконечно удаленной точки находящейся на оптической оси оказывается расположенным в фокусе другой ее (правой) ветви.

Рис. 4.3. Безаберрационное преломление луча на асферических поверхностях (а — эллипсоид, гиперболоид)

Если а есть большая полуось гиперболы, то

Формулы (4.15) и (4.16) является следствием общей теории Декарта, который показал, что преломление лучей на поверхности, меридиональное сечение которой в полярных координатах описывается уравнением

обеспечивает отсутствие сферической аберрации. Кривая, соответствующая уравнению (4.17), называется овалом Декарта. Здесь показатели преломления сред, разделенных этой поверхностью, координаты объекта и изображения (для них и значения Практически интерес представляют не все решения уравнения (4.17), а лишь приведенные выше, хотя частными случаями являются и зеркальные поверхности (при