§ 2.4. Интегральные уравнения переноса

Интегро-дифференциальные кинетические уравнения (2.16), (2.17) можно преобразовать в интегральные, которые в некоторых случаях более удобны для решения Ограничимся рассмотрением лишь стационарных уравнений

в (2.25) введем обозначение

заменим величиной и представим градиентный член в виде В результате этих преобразований получим

Рассмотрим область, занятую неоднородной средой, полагая, что на внешней границе заданы условия

Обозначим расстояние от точки до внешней границы рассматриваемой области в направлении обратном . Поскольку и входят в уравнение (2.28) как параметры, временно опустим их. Обозначив производную по штрихом, запишем (2.28) в виде

с граничным условием

Предположим, что правая часть (2.30) известна, и приступим к решению этого неоднородного дифференциального уравнения. Решение соответствующего однородного уравнения есть поэтому функцию следует искать в виде

Подставив (2.32) в (2.30) и проинтегрировав по I от произвольного значения до получим

Из (2.31) — (2.33) следует выражение для плотности потока

Возвращаясь к прежним переменным и полагая получаем

где

Величину называют оптическим расстоянием между точками для частиц с энергией Учитывая, что описывает ослабление пучка частиц за счет процессов поглощения и рассеяния, нетрудно дать физическую интерпретацию выражению (2.34): дифференциальная плотность потока в точке равна сумме плотностей потоков частиц, пришедших непосредственно с внешней границы и из точек, находящихся внутри рассматриваемого объема. Из выражения (2.27) видно, что внутри объема частицы рождаются внутренними источниками, плотность которых дается функцией и появляются в результате актов рассеяния, после которых частицы приобретают направление и энергию

Подставляя (2.27) в (2.34) и учитывая, что при получаем интегральное уравнение

где

- плотность потока нерассеянных частиц от внешних и внутренних источников. Если внешних источников нет, первый член в (2.37) равен нулю. Если же нет внутренних источников или они расположены на границе и, согласно (2.22), могут быть заменены граничными условиями, второй член в (2.37) обращается в нуль.

Уравнение (2.36) иногда записывают в другой форме, переходя от интегрирования по лучу к интегрированию по объему. Из уравнения луча следует, что

Записывая элемент объема в сферической системе координат с центром в точке и используя свойства -функции, можно убедиться, что для произвольной функции имеет место соотношение

применив это преобразование к (2.36), получим интегральное уравнение в виде

-Функция под знаком интеграла указывает на то, что в отсутствие взаимодействий частицы движутся прямолинейно. В уравнении (2.36) этот факт учитывался тем, что интегрирование велось только по лучу.

Вывод сопряженного интегрального уравнения отличается от приведенного выше вывода только видом вспомогательной переменной которую удобно выбрать в виде . Приведем окончательный вид сопряженного интегрального уравнения, эквивалентного уравнению переноса (2.26) с граничным условием (2.24) на свободной поверхности:

Из уравнения (2.36) легко получить интегральные уравнения для других дифренциальных характеристик поля излучения. Так, умножив (2.36) на получим уравнение для дифференциальной плотности столкновений (1.19):

где плотность первых столкновений.

Использовав граничное условие перепишем (2.36), (2.37) в виде

Выражение в фигурных скобках представляет собой эффективную плотность источников (см. § 1.3), поэтому

Подставляя (2.43) в обе части (2.42) и учитывая, что полученное равенство справедливо при любых значениях приходим к уравнению для эффективной плотности источников:

Производя аналогичные преобразования сопряженного уравнения (2.39), нетрудно получить уравнение

для эффективной функции чувствительности детектора (1.38), связанной с сопряженной функцией соотношением

которое легко получить из уравнений (2.39), (2.40).

Интегральное уравнение для ценности частицы, испытавшей столкновение в точке можно получить из формулы (1.36), которая в стационарном случае имеет вид

Если частица вылетает из точки в направлении и имеет энергию то вероятность того, что она пройдет путь I без взаимодействия и испытает столкновение на отрезке равна Ценность частицы, испытавшей это столкновение, по определению есть Поэтому

Подставляя (2.45) в (2.44), получаем интегральное уравнение для