§ 4.2. Обратный оператор и функция Грина

В § 4.1 отмечалось, что каждой функции из области определения 3) некоторого оператора А соответствует определенная функция принадлежащая области значений Если это соответствие взаимно однозначно, т. е. каждой функции соответствует единственная функция то оператор А называют обратимым. Совокупность действий, позволяющих найти по произвольной функции называют обратным оператором С помощью определения тождественного оператора легко показать, что

Действуя на обе части уравнения (4.12) оператором обратным нестационарному оператору переноса, получаем формальное решение в виде

Чтобы найти вид оператора отметим, что в силу линейности оператора переноса справедлив принцип суперпозиции, утверждающий, что поток излучения от нескольких источников равен сумме потоков, создаваемых каждым из источников в отдельности. В связи с этим особый интерес приобретает вычисление дифференциальной плотности потока от точечного мононаправленного моноэнергетического мгновенного источника:

Любой другой источник всегда можно представить в виде суперпозиции источников (4.15), распределенных в пространстве:

Решение уравнения (4.12) с источником (4.15), т. е. дифференциальную плотность потока частиц в точке х фазового пространства в момент от источника, испускающего в момент из точки х одну частицу, обозначим и будем называть функцией Грина уравнения (4.12):

Поскольку при частиц нет, функция Грина удовлетворяет начальному условию при кроме того, обычным граничным условиям для дифференциальной плотности потока.

Плотность потока от произвольного источника можно выразить через плотность источников и функцию Грина. Действительно, умножим обе части уравнения (4.17) на и проинтегрируем по С учетом (4.16) получим

Сравнивая (4.18) с (4.12), приходим к равенству

которое имеет очевидный физический смысл, если учесть определение функции Грина О и плотности источников Запишем выражение (4.19) в операторном виде:

где интегральный оператор Грина, ядром которого является функция Грина.

Из (4.14) и (4.20) видно, что оператор Грина является обратным оператору переноса

Показания детектора выражаются через оператор Грина следующим соотношением, вытекающим из (4.13) и (4.20):

Аналогичные соображения справедливы и для сопряженного уравнения. Сопряженная функция Грина удовлетворяет уравнению

при этом

а показания детектора выражаются формулой

где оператор Грина сопряженного уравнения. Из (4.22) и (4.25) видно, что оператор является сопряженным оператору

Лодставляя в равенства (4.22) и (4.25) выражения для дельта-источника и дельта-детектора и приравнивая их, получаем результат, называемый торлой взаимности

Равенство (4.26) становится очевидным, если учесть, что сопряженная функция Грина равна показаниям дельта-детектора с параметрами х, в поле дельта-источника с параметрами Поскольку дельта-детектор измеряет дифференциальную плотность потока частиц (§ 1.4), значения равны, если первая пара аргументов совпадает со второй парой (координаты детектора) и вторая пара аргументов совпадает с первой парой (координаты источника).

Метод функций Грина можно использовать и для различных частных типов кинетического уравнения, рассмотренных в гл. 2. При этом остаются в силе общие соотношения (4.17)-(4.26), если под понимать соответствующий набор переменных.

В простейших случаях функции Грина можно выписать в явном виде. Так, в среде без рассеяния дифференциальная плотность потока совпадает с первым членом выражения (2.38), так как второе слагаемое обращается в нуль

Подставив сюда плотность распределения дельта-источника и проинтегрировав по получим

Эта функция Грина является ядром оператора обратного кинетическому оператору

В стационарном диффузионном уравнении единственной переменной является радиус-вектор точки и функция Грина имеет вид

Из (4.26) и (4.28) видно, что т. е. оператор Грина диффузионного уравнения (как и оператор переноса диффузионного уравнения) является самосопряженным.