§ 3.7. Приближение малых углов в случае точечного изотропного источника

В односкоростном приближении дифференциальная плотность потока, создаваемого точечным изотропным источником, зависит только от расстояния между источником и детектором и от угла между и (§ 2.5), а уравнение переноса имеет вид

Переходя к приближению малых углов (§ 2.8), получаем

Будем искать решение этого уравнения в виде

Подставив (3.82) в (3.81), найдем уравнение для

Как и раньше, источник в этом уравнении можно заменить граничным условием

Применим к уравнению (3.83) преобразование Фурье — Бесселя по углу Все члены этого уравнения преобразуются так же, как в §3.6, за исключением третьего слагаемого, которое рассмотрим отдельно. Возникаюший здесь интеграл по переменной берется по частям:

Учитывая, что получаем, что рассматриваемый интеграл равен , где —трансформанта функции Она удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

с условием на границе

Система характеристических уравнений для (3.84) имеет вид откуда трансформанта удовлетворяющая условию (3.85), равна

Подставляя (3.86) в обратное преобразование (3.71) и используя (3.82), получаем угловое распределение частиц в виде интеграла

Разложением экспоненты под знаком интеграла в ряд можно получить разложение плотности потока по кратностям рассеяния. В частности,

Асимптотическое поведение при малых можно получить так же, как в предыдущем параграфе, разлагая в (3.87) трансформанту сечения в ряд. Угловое распределение частиц в этом случае получается гауссовым:

Вычисляя средний квадрат угла многократного рассеяния находим, что он пропорционален расстоянию