§ 4.5. Преобразование отражения и инверсии координат и теорема взаимности

Пусть среда симметрична относительно зеркального отражения координат в плоскости (т. е. относительно замены величиной Оператор данного преобразования обозначим и. Запишем уравнение для функции Грина и подействуем на обе части оператором В результате получим

Очевидно, в общем случае функция Грина неинвариантна относительно данного преобразования. Однако если подвергнуть подобному преобразованию и векторы (т. е. заменить на на то (4.70) примет вид

где Ой — оператор указанного преобразования. Таким образом, функция Грина инвариантна относительно зеркального отражения векторов входящих в ее аргу-. менты:

Аналогично в задаче, симметричной относительно преобразования инверсии координат (т. е. относительно замены величиной функция Грина неинвариантна относительно этого преобразования:

так как перед градиентным членом появляется знак минус. Однако если применить преобразование инверсии и к векторам то инвариантность функции Грина относительно такого преобразования станет очевидной:

В качестве примера такой среды, как и прежде, можно привести бесконечную однородную среду (когда начало координат можно выбрать в любой точке), а также сферически-симметричную среду, например однородный шар радиусом а.

в односкбростном приближении из (4.70) и (4.73) можно получить более интересные результаты [7, с. 204; 36, с. 37]. В случае плоско-параллельной геометрии имеем

В односкоростном приближении поэтому уравнение (4.75) совпадает с сопряженным уравнением, откуда

Наконец, применяя к правой части равенства (4.76) теорему взаимности, приходим к полезному соотношению

утверждающему, что функция Грина не изменит своего значения, если заменить на а затем поменять местами (в фазовом пространстве) источник и детектор. Аналогично в сферически-симметричной геометрии получим