§ 3.17. Преобразование Лапласа по координатам

Запишем кинетическое уравнение в приближении «прямо—вперед» (т. е. без учета отклонения частиц при рассеянии) для частиц, испускаемых моноэнергетическим источником, который находится в начале координат:

Поскольку частицы испускаются в положительном направлении оси в области плотность потока равна нулю и областью изменения в уравнении (3.208) следует считать полубесконечный интервал Это обстоятельство позволяет применить для решения уравнения (3.208) преобразование Лапласа по координатам:

где трансформанта Лапласа выражается через плотность потока следующим образом:

Умножим обе части уравнения (3.208) на и проинтегрируем по от О до Преобразовав первый член интегрированием по частям с учетом граничного условия (3.209) и использовав обозначение (3.211), получим

После преобразования Лапласа остальных членов уравнения (3.208) приходим к уравнению для трансформанты плотности потока:

которое в отличие от (3.208) не содержит производных и является интегральным уравнением типа уравнения деградации энергии (§ 2.6). Введя обозначение

перепишем уравнение (3.212) в виде

Сравнение с (2.54) показывает, что при действительных к уравнение (3.214) по форме совпадает с уравнением деградации энергии для частиц с макроскопическим сечением

столкновений и дифференциальным сечением рассеяния Из (3.213) видно, что по мере уменьшения 1 обращается в нуль, а затем становится отрицательной. Отсюда следует [99, с. 89], что решение уравнения (3.214) существует лишь в области В этой области можно воспользоваться результатами, полученными в § 3.10. Если выполняется условие то в соответствии с (3.114) для трансформанты рассеянной компоненты плотности потока получим

Если и С не зависят от энергии, формула (3.215) упрощается:

Перейдем к восстановлению энергетического спектра рассеянных частиц:

где, согласно изложенному выше. Введем обозначения: Тогда формула (3.217) примет вид

Функция представляющая собой обратное преобразование Лапласа функции равна где кодифицированная функция Бесселя первого порядка. Таким образом [99, с. 95],

в частности, при малых значениях аргумента поэтому

При больших значениях аргумента следовательно,

Из видно, что с увеличением отношение рассеянного излучения к нерассеянному возрастает сначала линейно (когда главную роль играет однократное рассеяние), затем более сложным образом [см. (3.221)], причем низкоэнергетическая часть спектра, обусловленная многократным рассеянием, растет быстрее высокоэнергетической.