§ 1.3. Характеристики поля излучения

Для описания распределения частиц в фазовом пространстве в теории переноса вводят понятие дифференциальной по углам и энергий плотности частиц Эта величина представляет собой среднее число частиц, находящихся в единичном фазовом объеме около точки в момент Другие характеристики поля излучения можно выразить через Рассмотрим, например, элементарную площадку с центром в точке и нормалью Очевидно, что за время эту площадку пересекут те частицы с направлением движения и энергией которые находятся в элементарном объеме где скорость частиц, соответствующая энергии (рис. 1.1). Число таких частиц равно

где функция

называется дифференциальной по углам и энергии плотностью потока частиц в момент t (или просто дифференциальной плотностью потока). Из (1.14) видно, что дифференциальная плотность потока равна числу частиц с энергией из единичного интервала около и направлением внутри единичного телесного угла около пересекающих в единицу времени единичную площадку с центром в точке перпендикулярную Таким образом, дифференциальная плотность потока является обобщением широко используемого в физике понятия плотности потока частиц.

Рис. 1.1. К определению дифференциальной плотности потока

Если обе части равенства (1.15) умножить на и учесть, что есть число частиц в элементарном объеме фазового пространства, скорость этих частиц, то величину можно интерпретировать как путь, проходимый в единицу времени частицами, принадлежащими фазовому объему а саму плотность потока как путь, который проходят частицы, принадлежащие единичному объему фазового пространства, в единицу времени.

Важной количественной характеристикой поля излучения является число частиц, падающих в единицу времени на поверхность шара малого радиуса. Согласно (1.14), внутрь сферы в единицу времени входит

частиц с параметрами Здесь нормаль к поверхности сферы, а интегрирование проводится лишь по той части поверхности, где Это условие выделяет из потока частиц, пересекающих поверхность сферы, только те, которые входят внутрь шара. Если объем шара достаточно мал, то, пренебрегая изменением величину (1.16) можно записать в виде

где площадь поперечного сечения сферы. Интегрируя это выражение по всем направлениям найдем число

частиц с энергией, принадлежащей единичному энергетическому интервалу около попадающих внутрь сферы. Оно равно где Функцию называют энергетическим распределением (спектром) частиц в точке Аналогично, интегрируя дифференциальную плотность потока по всем значениям энергии, приходим к угловому распределению частиц:

Полное число частиц, входящих внутрь малой сферы в единицу времени, отнесенное к поперечному сечению называют плотностью потока частиц в точке и обозначают Очевидны соотношения

С дифференциальной плотностью потока частиц связан ряд других важных характеристик поля излучения. Так, для характеристики плотности потока энергии, переносимой частицами, вводят следующие величины: дифференциальную плотность потока энергии

энергетический спектр излучения

интенсивность излучения

физический смысл которых очевиден. Например, интенсивность излучения есть количество энергии, падающей в единицу времени на поверхность сферы единичного сечения.

Из интерпретации дифференциальной плотности потока как пути частиц, принадлежащих единичному фазовому объему, и вероятностного смысла макроскопического сечения взаимодействия (см. § 1.2) вытекает, что произведение

равно среднему числу столкновений, происходящих за единицу времени в единичном фазовом объеме около точки х. Оно называется дифференциальной плотностью

столкновений. Заменяя в величиной или получаем дифференциальную плотность рассеяний или поглошений соответственно.

Из тех же соображений следует, что произведение

равно числу рассеяний с изменением направления и энергии происходящих в единицу времени в единичном фазовом объеме. Интеграл от него по и (интеграл столкновений)

дает число частиц, появляющихся в единичном фазовом объеме около точки в единицу времени за счет процессов рассеяния с изменением параметров и Учитывая, что по смыслу близко к дифференциальной плотности источников а по размерности совпадает с ней, назовем дифференциальной плотностью источников рассеянных частиц. Сумму будем называть эффективной дифференциальной плотностью источников.

Проинтегрировав (1.19) по и найдем пространственную плотность столкновений, т. е. полное число столкновений, происходящих в единице объема в единицу времени:

Умножая дифференциальную плотность потока на тормозную способность и интегрируя по и находим объемную плотность энергии, теряемой при столкновениях:

В теории переноса нейтронов используется понятие плотность замедления. Эта величина определяется соотношением

Внутренний интеграл в этой формуле представляет собой плотность таких столкновений, после которых частицы, имевшие энергию оказываются в энергетическом

интервале Поэтому плотность замедления есть плотность всех столкновений, в которых энергия частицы становится меньше В, Пределы интегрирования в (1.22) указывают, что при столкновении с. изменением энергии минимальное значение равно а максимальное значение при котором возможен переход В равно

Делая в (1.22) замену переменных (1.11), получаем

где

Подставим (1.13) в (1.23):

Если масса атомов, на которых происходит замедление, велика (а 1), то потеря энергии в одном столкновении мала и интервал, в котором изменяется переменная тоже мал. Тогда изменением плотности рассеяний можно пренебречь и вынести ее из-под знака интеграла. Проинтегрировав оставшееся выражение, получим

Учитывая (1.24) и то, что легко вернуться к переменной В:

Эта формула устанавливает связь между дифференциальной плотностью потока и плотностью замедления.